Eksamen
blogg lru3351. del 1.
Fokus
på veien til svaret.
Matematikk er et fag i
skolen som mange elever har sterke meninger om. Det er ofte et fag som noen
elever har veldig sansen for, mens andre ikke. Mange elever opplever
matematikken som et fag som du enten kan eller ikke kan – du har rett eller så
har du ikke rett. To pluss to er fire, og det er det. Det er kanskje ikke
tilstrekkelig fokus på hvordan elevene kommer fram til svaret – hvordan tenker
de på oppgaven og hvordan de forstår den, hvordan kan de bruke denne måten å
tenke på til løse andre matematiske problemer er noe som burde kanskje burde
blitt vektlagt i større grad.
En annen utfordring for
elever i matematikkundervisningen kan være å se poenget med å lære det de lærer.
Hvor mange ganger har man ikke hørt en elev som jobber med matematikk spør om
hva man skal med dette. Jeg vil prøve å skape en undervisning ved der målet er
i størst grad på de matematiske prosessene, der det intellektuelle behovet også
vil bli stimulert.
Hvordan kan vi så prøve å
legge opp til en undervisning der den matematiske prosessen blir vektlagt i
større grad, og der matematikken blir meningsfull i seg selv?
DNR
DNR (duality necessity
and repeated reasoning) er et rammeverk for undervisning. Et premiss som er sentralt
for DNR er at det å kunne matematikk er å kunne de måter å forstå og tenke på
som er blitt institusjonalisert så lenge det har eksistert kunnskap om
matematikk (Harel 2013). Videre vil det si at man utvikler sin måte å tenke på gjennom
de måter man forstår på, og motsatt; å forstå noe gjennom måten man tenker på
(Harel, 2008:899). Dette er da slik vi forklarer prinsippet dualiteten i DNR. Vi
kan se at det handler om å ha fokus på de mentale prosessene i matematikk. Kort
forklart er dette det motsatte veien å gå fra utfordringen med matematikk der
man ser på kun svaret, men der man heller lærer seg matematikk gjennom alle de
måter å tenke på – altså fokus på å utvikle de mentale prosessene som for
eksempel resonering, argumentasjon, kritisk tenkning og memorering
Nødvendigheten
(necessity) i DNR handler om å skape et intellektuelt behov for eleven. Et problem
i skolen er at læreren introduserer et nytt tema i matematikken uten at elevene
ser hva som er poenget. Hvis eleven ser på matematikken som meningsfullt i seg
selv og opplever det intellektuelle behovet vil han da mest sannsynlig ikke
stille spørsmål med hvorfor man gjør det. Harel (2013) beskriver teorien om intellecutuel need i en egen artikkel,
der han mener at hvert enkelt menneske har et behov for intellektuell
stimulering. Han deler de behovene i fem forskjellige kategorier, men jeg vil i
min undervisning legge mest vekt på behovet for beregning. Gjennom å bestemme
egenskaper ved et objekt eller/og sammenhengen mellom forskjellige objekter og
målinger rundt det vi elevens behov for beregning fremkalles (Harel 2013:132)
Tru- math
I rammeverket TRU-math er det fem overlappende dimensjoner for
matteundervisning. Det er vanskelig å skille de fem dimensjonene helt fra
hverandre. Jeg vil i undervisningen min benytte meg av noen av dimensjonene. Jeg
vil at elevene skal kunne få mulighet til å se sammenhenger mellom forskjellige
matematiske ideer. Jeg vil at alle elevene skal få mulighet til å delta i læringen
som skjer i klasserommet. Jeg vil også at gjennom dette arbeidet skal elvene
seg på seg selv som en aktør som er i stand til å drive med matematikk. Sist men
ikke minst vil jeg at elevene kjenner på det Schoenfeld mfl. (2014:10) kaller
for productiv struggle. Med det menes det at elevene må få mulighet til å jobbe
med de matematiske ideene uten å få det forklart det med en gang, slik at de
kan oppdage de matematiske ideene selv. Dette er i tråd med de premissene DNR
legger til grunn for læring. Gjennom arbeid med oppgaver de ikke bare har
memorert, men må arbeide med vil de kunne utvikle nye måter å forstå og dermed
nye måter tenke på, noe som igjen kan sammenlignes med Schoenfeld (2014:10)
begrep; producitvive habits.
Hvordan kan man da oppnå situasjoner der eleven får aktivert det
intellektuelle behovet, får utviklet sine måter å forstå på og dermed måter å
tenke på?? Og samtidig gir dem muligheten til å se sammenhengen mellom
forskjellige matematiske ideer, og gir de muligheten til å være matematiske på
sitt nivå der fokuset er på prosessene og ikke bare om svaret er riktig eller
galt?
Problemløsning.
Et rammeverk jeg da ser på som hensiktsmessig å benytte seg
av da Artigue og Blomhøj’s (2013) utforskende matematikk som omhandler
det å tilnærme seg matematikken utforskende. Underliggende utforskende
matematikk står problemløsning. I matematikkundervisningen er det en uheldig
trend at problemløsning ofte blir benyttet til slutt, nesten som en belønning,
gjerne kalt «ukas nøtt» av lærere.
Det er et viktig premiss for DNR er at læring skjer gjennom arbeid med
problemer. Ved at elevene får problemer som kjennetegnes av at eleven ikke vet
framgangsmåten på de fra før, vil elevens mentale strukturer bli utfordret slik
at det kan utvikles nye strukturer som igjen da kan ses på som måter å tenke på(Artigue
og Blomhøj 2013). Koichu (2014:116) beskriver dette som at elevene kan
gjennom frustrerende arbeid med problemer skape nysgjerrighet og gledelige
matematiske oppdagelser. Gjennom arbeid med problemer vil elevene kunne lage
sine egne spørsmål som de virkelig vil vite svaret på. Da vil de føle at
matematikken blir meningsfull i seg selv (Koichu, 2014:118). Da vil ikke
elevene stille spørsmål om hva man skal med dette, fordi det intellektuelle behovet
aktiviseres og elevene forsøker å stimulere det. Problemløsning omhandler blant
annet det å analysere, utforske, resonere, argumentere og bevise, koble sammen
og kommunisere (Artigue og Blomhøj, 2013). Derfor er det
viktig at læreren ikke tar vekk for mye av utfordringen, med å hjelpe elevene,
slik at de ikke får utvikle sine måter å tenke på/productive struggle (Koichu 2014:116) Schoenfeld (2014:10).
Her er en video som forklarer arbeid med problemløsning og dens fordeler
i matematikken presentert av matematikkutdanningsforsker Jo Boaler.
Undervisningen.
Kompetansemålet jeg vil
at elevene skal jobbe med er:
Lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske
situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje
mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og
tekstar”(Utdanningsdirektoratet 2013)
Her er ikke poenget at
elevene isolert skal lære seg hva en graf er, men mer å kunne lære seg å jobbe
med algebra og funksjoner og gjennom arbeid med problemer skape mening og
koblinger av matematikken. En stor utfordring i forhold til
undervisningsopplegget mitt blir å utforme et problem som elevene har litt
kjentskap med fra før, men som de likevel ikke vet hvordan de skal løse, slik
at de får arbeidet produktivt med problemet.
Undervisningen
vil være for en 8. klasse og strekker seg over en time. Som nevnt (Schoenfeld m.fl. 2014) er det å tenke grundig gjennom hvilke
oppgaver og spørsmål jeg skal komme en helt sentral faktor for undervisningen.
Derfor tar jeg meg god tid til det. Jeg vil utforme et sett med likninger
presentert som grafer. Jeg vil deretter komme med en påstand til hver graf som
elevene skal avgjøre om er riktig. Ved å bruke påstander oppnår jeg at fokuset
rettes mot prosessene fremfor kun svaret.
Det
vil se slik ut:
= 2x+4
= 2x-4
= 3x
= 2x
Oppgavene er like i
prinsippet, men jeg har variert oppgavene slik at de får frem noen viktige
poenger som skiller dem fra hverandre, som for eksempel hva som avgjør
stigningstallet og konstantleddet. Elevene blir nødt for å tenke på hva de
grafen og algebrautrykket representerer. Dette må de kartlegge gjennom resonnementer,
testing, kritisk tenkning og beregning. Disse oppgavene vil også kunne være med
på å aktivisere elevenes behov for beregning. Dette gjennom at man kan bestemme
omentrent hvordan grafen eller algebrautrykket kan se ut gjennom beregning.
Først ville hver enkelt
elev fått muligheten til å jobbe alene med oppgavene. Dette for at de skal få
utforske problemene selv og skape sine egne resonnementer og deres måte å
forstå på. Etter at de har fått prøve selv vil de bli fordelt i grupper på tre
og tre. Her skal de presentere måten de har tenkt på til hverandre. Dette fører
til at elevene må reflektere over medelevenes metoder og resonnement (Fransisco 2012:417). Det kan
også føre til at elevene er nødt for å styrke sine og overbevise de andre på
gruppen om hvorfor det er lurt å gjøre som det har gjort, gjennom argumentasjon
og kritisk tenkning.
I arbeidsprosessen velger
jeg å benytte meg av en modell som er utformet av Stein m.fl. (2008:322).
1. Forutse
elevenes løsninger.
Når
jeg utformer oppgavene er det viktig at jeg er forberedt på hva slags løsninger
elevene kommer med. Dette fordi jeg skal kunne være veiledende å støttende
rundt deres måte å forstå oppgaven på, noe som er formålet med rammeverkene DNR,
intellectual need og arbeidsmetoden problemløsning. Jo Boaler i videoen poengterer
også at det er viktig at elevene finner sine egne veier. Det er mer faglig
krevende å veilede eleven der han er fremfor å kunne selv velge hva jeg vil si
til elevene om temaet. Derfor er det viktig at jeg gjør en innsats for å
forutse elevenes løsninger. Her kan jeg forvente at noen elever vil gå gjennom
å utforme grafen, algebrautrykket eller begge til en tabell, for deretter å se
om de går overens. Forhåpentligvis vil også noen kunne resonere seg frem ved
hjelp av beregning. Med det mener jeg at de kan gjøre beregninger først om
hvordan grafen eller utrykket vil se ut.
2.
Skape
meg en oversikt over elevenes løsninger.
Jeg
vil når de jobber alene og i grupper gå rundt å kommunisere med elevene slik at
jeg for en innsikt i deres måte å forstå på og det vil igjen si ne om deres
måte å tenke på. Slik kan jeg være med på å veilede dem.
3.
Velge
ut hensiktsmessige løsningsmetoder.
Når
vi samles til en plenumsdiskusjon vil jeg benytte meg av elevenes metoder og
løsninger. Da vil jeg kunne styrke elevens syn på seg selv som en matematisk
aktør (Schoenfeld m.fl. 2014). Her vil jeg velge ut løsninger som er
forskjellige, slik at elevene kan bli utfordret til å danne nye måter å forstå
på.
4.
Velge
en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene.
Når jeg velger ut
løsningsmetodene er det et viktig poeng at jeg velger ut en hensiktsmessig
rekkefølge med poenger som bygger på hverandre. For eksempel ville jeg valgt å
presentere metoden med å bruke tabell før det å bare avgjøre det ved å se på
grafen og beregne ut i fra det. Man gjør da egentlig det samme bare at du
avgjør hvordan utrykke kan se ut ved hjelp av å bruke det man kan få vite av en
graf/utrykk av å bare se på den.
5.
Diskutere
sammenhengen mellom løsningene.
I den siste delen av
timen velger jeg å diskutere hva slags matematiske sammenhenger det er mellom
de forskjellige løsningene slik at de sammenhengene blir tydelig. På den måten
kan man få frem sammenhengene og koblingene mellom de forskjellige
representasjonene av algebra. Elvene vil da få muligheten til å utvikle nye
måter å forstå og tenke på algebra.
Denne måten å arbeide på
vil ikke automatisk føre til at elevene forstår algebra og koblingene mellom de
forskjellige ideene, men dette opplegget vil gi de muligheten til å lære seg
det over tid. Dette gjennom at det aktiviseres et intellektuelt behov hos dem
som gjør at de vil lære seg mer, og at dette opplegget får elevene til å
utvikle sine måter å forstå på og da igjen måter å tenke på. Et viktig poeng
her i følge Artigue og Blomhøj (2013)
er ikke at mengdetrening og pugging skal utelukkes, men heller komme inn når
eleven har fått jobbe med problemløsning og på den måten først skapt en mening
av matematikken.
Kildeliste:
Artigue, M. Blomhøj M. (2013): Conceptualizing
inquiry-b in mathematics, i ZDM - The international Journal on Mathematics
Education. Volum 45,
Fransisco, J. M. (2012) Learning in collaborative settings: students
building on each other´s ideas to promote their mathematical understanding,
Educ Stud Math (2013), 82:417-438, DOI:
Harel, G. (2013): Intellectual need, i Vital
Directions for Mathematics Education Research. Springer Science, Business
Media. New York.
Harel, G. (2008): A DNR perspective on
mathematics curriculum and instruction. Part 2: With reference to teachers
knowledge base. I ZDM – Mathematics Education. 40: 893-907
Harel, G. (2008): A DNR perspective on
mathematics curriculum and instruction. Part 1: focus on proving. I ZDM –
Mathematics Education. 40: 487-500
Koichu, B. (2014) Reflections on Problem-Solving Problem Solving in
Mathematics and in Mathematics Education. I M.N. Fried, T. Dreyfus (eds.),
Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground, Advances
in Mathematics Education, DOI 10.1007/978-94-007-74735_8, © Springer
Science+Business Media Dordrecht
Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment
Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate
School of Education, University of California, Berkeley & College of
Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php.
Stein, M. K. Engle R. A. Smith, M. S. Hughes E.
K. (2008) Orchestrating
Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and
Tell. I Mathematical Thinking and Learning. 10:4,
313-340.
Utdanningsdirektoratet (2013): Kompetansemål etter 10. årssteget. Hentet fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget
Youtubevideo
hentet fra: https://www.youtube.com/watch?v=Ien-86bXCrI.
(sett 29.01.)
