Eksamen blogg lru3351. del 1.

Fokus på veien til svaret.

Matematikk er et fag i skolen som mange elever har sterke meninger om. Det er ofte et fag som noen elever har veldig sansen for, mens andre ikke. Mange elever opplever matematikken som et fag som du enten kan eller ikke kan – du har rett eller så har du ikke rett. To pluss to er fire, og det er det. Det er kanskje ikke tilstrekkelig fokus på hvordan elevene kommer fram til svaret – hvordan tenker de på oppgaven og hvordan de forstår den, hvordan kan de bruke denne måten å tenke på til løse andre matematiske problemer er noe som burde kanskje burde blitt vektlagt i større grad.

En annen utfordring for elever i matematikkundervisningen kan være å se poenget med å lære det de lærer. Hvor mange ganger har man ikke hørt en elev som jobber med matematikk spør om hva man skal med dette. Jeg vil prøve å skape en undervisning ved der målet er i størst grad på de matematiske prosessene, der det intellektuelle behovet også vil bli stimulert.

Hvordan kan vi så prøve å legge opp til en undervisning der den matematiske prosessen blir vektlagt i større grad, og der matematikken blir meningsfull i seg selv?

DNR

DNR (duality necessity and repeated reasoning) er et rammeverk for undervisning. Et premiss som er sentralt for DNR er at det å kunne matematikk er å kunne de måter å forstå og tenke på som er blitt institusjonalisert så lenge det har eksistert kunnskap om matematikk (Harel 2013). Videre vil det si at man utvikler sin måte å tenke på gjennom de måter man forstår på, og motsatt; å forstå noe gjennom måten man tenker på (Harel, 2008:899). Dette er da slik vi forklarer prinsippet dualiteten i DNR. Vi kan se at det handler om å ha fokus på de mentale prosessene i matematikk. Kort forklart er dette det motsatte veien å gå fra utfordringen med matematikk der man ser på kun svaret, men der man heller lærer seg matematikk gjennom alle de måter å tenke på – altså fokus på å utvikle de mentale prosessene som for eksempel resonering, argumentasjon, kritisk tenkning og memorering

Nødvendigheten (necessity) i DNR handler om å skape et intellektuelt behov for eleven. Et problem i skolen er at læreren introduserer et nytt tema i matematikken uten at elevene ser hva som er poenget. Hvis eleven ser på matematikken som meningsfullt i seg selv og opplever det intellektuelle behovet vil han da mest sannsynlig ikke stille spørsmål med hvorfor man gjør det. Harel (2013) beskriver teorien om intellecutuel need i en egen artikkel, der han mener at hvert enkelt menneske har et behov for intellektuell stimulering. Han deler de behovene i fem forskjellige kategorier, men jeg vil i min undervisning legge mest vekt på behovet for beregning. Gjennom å bestemme egenskaper ved et objekt eller/og sammenhengen mellom forskjellige objekter og målinger rundt det vi elevens behov for beregning fremkalles (Harel 2013:132), som for eksempel gjennom å bestemme en funksjons egenskaper.

Tru- math

I rammeverket TRU-math er det fem overlappende dimensjoner for matteundervisning. Det er vanskelig å skille de fem dimensjonene helt fra hverandre. Jeg vil i undervisningen min benytte meg av noen av dimensjonene. Jeg vil at elevene skal kunne få mulighet til å se sammenhenger mellom forskjellige matematiske ideer. Jeg vil at alle elevene skal få mulighet til å delta i læringen som skjer i klasserommet. Jeg vil også at gjennom dette arbeidet skal elvene seg på seg selv som en aktør som er i stand til å drive med matematikk. Sist men ikke minst vil jeg at elevene kjenner på det Schoenfeld mfl. (2014:10) kaller for productiv struggle. Med det menes det at elevene må få mulighet til å jobbe med de matematiske ideene uten å få det forklart det med en gang, slik at de kan oppdage de matematiske ideene selv. Dette er i tråd med de premissene DNR legger til grunn for læring. Gjennom arbeid med oppgaver de ikke bare har memorert, men må arbeide med vil de kunne utvikle nye måter å forstå og dermed nye måter tenke på, noe som igjen kan sammenlignes med Schoenfeld (2014:10) begrep; producitvive habits.

Hvordan kan man da oppnå situasjoner der eleven får aktivert det intellektuelle behovet, får utviklet sine måter å forstå på og dermed måter å tenke på?? Og samtidig gir dem muligheten til å se sammenhengen mellom forskjellige matematiske ideer, og gir de muligheten til å være matematiske på sitt nivå der fokuset er på prosessene og ikke bare om svaret er riktig eller galt?

Problemløsning.

Et rammeverk jeg da ser på som hensiktsmessig å benytte seg av da Artigue og Blomhøj’s (2013) utforskende matematikk som omhandler det å tilnærme seg matematikken utforskende. Underliggende utforskende matematikk står problemløsning. I matematikkundervisningen er det en uheldig trend at problemløsning ofte blir benyttet til slutt, nesten som en belønning, gjerne kalt «ukas nøtt» av lærere.

Det er et viktig premiss for DNR er at læring skjer gjennom arbeid med problemer. Ved at elevene får problemer som kjennetegnes av at eleven ikke vet framgangsmåten på de fra før, vil elevens mentale strukturer bli utfordret slik at det kan utvikles nye strukturer som igjen da kan ses på som måter å tenke på(Artigue og Blomhøj 2013). Koichu (2014:116) beskriver dette som at elevene kan gjennom frustrerende arbeid med problemer skape nysgjerrighet og gledelige matematiske oppdagelser. Gjennom arbeid med problemer vil elevene kunne lage sine egne spørsmål som de virkelig vil vite svaret på. Da vil de føle at matematikken blir meningsfull i seg selv (Koichu, 2014:118). Da vil ikke elevene stille spørsmål om hva man skal med dette, fordi det intellektuelle behovet aktiviseres og elevene forsøker å stimulere det. Problemløsning omhandler blant annet det å analysere, utforske, resonere, argumentere og bevise, koble sammen og kommunisere (Artigue og Blomhøj, 2013). Derfor er det viktig at læreren ikke tar vekk for mye av utfordringen, med å hjelpe elevene, slik at de ikke får utvikle sine måter å tenke på/productive struggle (Koichu 2014:116) Schoenfeld (2014:10).

Her er en video som forklarer arbeid med problemløsning og dens fordeler i matematikken presentert av matematikkutdanningsforsker Jo Boaler.

https://www.youtube.com/watch?v=Ien-86bXCrI

Undervisningen.

Kompetansemålet jeg vil at elevene skal jobbe med er:

Lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar”(Utdanningsdirektoratet 2013)

Her er ikke poenget at elevene isolert skal lære seg hva en graf er, men mer å kunne lære seg å jobbe med algebra og funksjoner og gjennom arbeid med problemer skape mening og koblinger av matematikken. En stor utfordring i forhold til undervisningsopplegget mitt blir å utforme et problem som elevene har litt kjentskap med fra før, men som de likevel ikke vet hvordan de skal løse, slik at de får arbeidet produktivt med problemet.

Undervisningen vil være for en 8. klasse og strekker seg over en time. Som nevnt (Schoenfeld m.fl. 2014) er det å tenke grundig gjennom hvilke oppgaver og spørsmål jeg skal komme en helt sentral faktor for undervisningen. Derfor tar jeg meg god tid til det. Jeg vil utforme et sett med likninger presentert som grafer. Jeg vil deretter komme med en påstand til hver graf som elevene skal avgjøre om er riktig. Ved å bruke påstander oppnår jeg at fokuset rettes mot prosessene fremfor kun svaret.

Det vil se slik ut:

 = 2x+4

= 2x-4

= 3x

 = 2x

Oppgavene er like i prinsippet, men jeg har variert oppgavene slik at de får frem noen viktige poenger som skiller dem fra hverandre, som for eksempel hva som avgjør stigningstallet og konstantleddet. Elevene blir nødt for å tenke på hva de grafen og algebrautrykket representerer. Dette må de kartlegge gjennom resonnementer, testing, kritisk tenkning og beregning. Disse oppgavene vil også kunne være med på å aktivisere elevenes behov for beregning. Dette gjennom at man kan bestemme omentrent hvordan grafen eller algebrautrykket kan se ut gjennom beregning.

Først ville hver enkelt elev fått muligheten til å jobbe alene med oppgavene. Dette for at de skal få utforske problemene selv og skape sine egne resonnementer og deres måte å forstå på. Etter at de har fått prøve selv vil de bli fordelt i grupper på tre og tre. Her skal de presentere måten de har tenkt på til hverandre. Dette fører til at elevene må reflektere over medelevenes metoder og resonnement (Fransisco 2012:417). Det kan også føre til at elevene er nødt for å styrke sine og overbevise de andre på gruppen om hvorfor det er lurt å gjøre som det har gjort, gjennom argumentasjon og kritisk tenkning.

I arbeidsprosessen velger jeg å benytte meg av en modell som er utformet av Stein m.fl. (2008:322).

1.     Forutse elevenes løsninger.

Når jeg utformer oppgavene er det viktig at jeg er forberedt på hva slags løsninger elevene kommer med. Dette fordi jeg skal kunne være veiledende å støttende rundt deres måte å forstå oppgaven på, noe som er formålet med rammeverkene DNR, intellectual need og arbeidsmetoden problemløsning. Jo Boaler i videoen poengterer også at det er viktig at elevene finner sine egne veier. Det er mer faglig krevende å veilede eleven der han er fremfor å kunne selv velge hva jeg vil si til elevene om temaet. Derfor er det viktig at jeg gjør en innsats for å forutse elevenes løsninger. Her kan jeg forvente at noen elever vil gå gjennom å utforme grafen, algebrautrykket eller begge til en tabell, for deretter å se om de går overens. Forhåpentligvis vil også noen kunne resonere seg frem ved hjelp av beregning. Med det mener jeg at de kan gjøre beregninger først om hvordan grafen eller utrykket vil se ut.

2.     Skape meg en oversikt over elevenes løsninger.

Jeg vil når de jobber alene og i grupper gå rundt å kommunisere med elevene slik at jeg for en innsikt i deres måte å forstå på og det vil igjen si ne om deres måte å tenke på. Slik kan jeg være med på å veilede dem.

3.     Velge ut hensiktsmessige løsningsmetoder.

Når vi samles til en plenumsdiskusjon vil jeg benytte meg av elevenes metoder og løsninger. Da vil jeg kunne styrke elevens syn på seg selv som en matematisk aktør (Schoenfeld m.fl. 2014). Her vil jeg velge ut løsninger som er forskjellige, slik at elevene kan bli utfordret til å danne nye måter å forstå på.

4.     Velge en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene.

Når jeg velger ut løsningsmetodene er det et viktig poeng at jeg velger ut en hensiktsmessig rekkefølge med poenger som bygger på hverandre. For eksempel ville jeg valgt å presentere metoden med å bruke tabell før det å bare avgjøre det ved å se på grafen og beregne ut i fra det. Man gjør da egentlig det samme bare at du avgjør hvordan utrykke kan se ut ved hjelp av å bruke det man kan få vite av en graf/utrykk av å bare se på den.

5.     Diskutere sammenhengen mellom løsningene.

I den siste delen av timen velger jeg å diskutere hva slags matematiske sammenhenger det er mellom de forskjellige løsningene slik at de sammenhengene blir tydelig. På den måten kan man få frem sammenhengene og koblingene mellom de forskjellige representasjonene av algebra. Elvene vil da få muligheten til å utvikle nye måter å forstå og tenke på algebra.

Denne måten å arbeide på vil ikke automatisk føre til at elevene forstår algebra og koblingene mellom de forskjellige ideene, men dette opplegget vil gi de muligheten til å lære seg det over tid. Dette gjennom at det aktiviseres et intellektuelt behov hos dem som gjør at de vil lære seg mer, og at dette opplegget får elevene til å utvikle sine måter å forstå på og da igjen måter å tenke på. Et viktig poeng her i følge Artigue og Blomhøj (2013) er ikke at mengdetrening og pugging skal utelukkes, men heller komme inn når eleven har fått jobbe med problemløsning og på den måten først skapt en mening av matematikken.

Kildeliste:

Artigue, M. Blomhøj M. (2013): Conceptualizing inquiry-b in mathematics, i ZDM - The international Journal on Mathematics Education. Volum 45, 

Fransisco, J. M. (2012) Learning in collaborative settings: students building on each other´s ideas to promote their mathematical understanding, Educ Stud Math (2013), 82:417-438, DOI: 

Harel, G. (2013): Intellectual need, i Vital Directions for Mathematics Education Research. Springer Science, Business Media. New York.

Harel, G. (2008): A DNR perspective on mathematics curriculum and instruction. Part 2: With reference to teachers knowledge base. I ZDM – Mathematics Education. 40: 893-907

Harel, G. (2008): A DNR perspective on mathematics curriculum and instruction. Part 1: focus on proving. I ZDM – Mathematics Education. 40: 487-500

Koichu, B. (2014) Reflections on Problem-Solving Problem Solving in Mathematics and in Mathematics Education. I M.N. Fried, T. Dreyfus (eds.), Mathematics & Mathematics Education: Searching for Common Ground, Advances in Mathematics Education, DOI 10.1007/978-94-007-74735_8, © Springer Science+Business Media Dordrecht

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php.

Stein, M. K. Engle R. A. Smith, M. S. Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell. I Mathematical Thinking and Learning. 10:4, 313-340.

Utdanningsdirektoratet (2013): Kompetansemål etter 10. årssteget. Hentet fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget

Youtubevideo hentet fra: https://www.youtube.com/watch?v=Ien-86bXCrI. (sett 29.01.)

Eksamen Lru-3351

Blogg av kandidatnummer 1

Intellectual need.

En del elever føler at matematikken de får undervist på skolen er meningsløs, eller basert på et tynt gitt grunnlag fra læreren, som at dette er noe de må lære seg fordi det blir viktig i forhold til jobb og noe de får bruk for om 10 år. Dette som grunnleggende motivasjon for å lære seg matematikk er ikke holdbart over tid. I følge Harel (2013) må motivasjonen for læring i matematikk ligge i selve matematikken. Hvis matematikken i seg selv er motiverende vil ikke elevene stille spørsmål om hvorfor de skal holde på med det. Dette gjør man ved å skape et intellctual need hos eleven, eller på norsk, et intellektuelt behov. Det handler om å stimulere den iboende nysgjerrigheten i mennesket. Mennesket har behov for å vite om noe er sikkert, om hvorfor det er slik, hva sammenheng mellom ting er og behov for å kunne kommunisere om ting (Harel 2013). Det bør være et mål å fremkalle og stimulere det intellektuelle behovet i matematikkundervisningen slik at matematikken blir motiverende i seg selv.

«Cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”..

Universitetene i Berkley og Nottingham har gått sammen om å lage et rammeverk for god undervisning i matematikk kalt «TRU-math» (Teaching for Robust Understanding of Mathematics). De har i dette rammeverket utarbeidet fem forskjellige dimensjoner i matematikkundervisningen som læreren bør ta hensyn til. Jeg har valgt å fokusere på to av disse i mitt undervisningsopplegg; «cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”. Dette fordi disse to dimensjonene er med på å understreke poenger og premisser ved intellektuelt behov. Cognetive demand dimensjonen er ligner veldig på prinsippet med å skape intellektuelt behov. I likhet med teorien i intellektuelt behov vil man også her at elevene skal utfordres med arbeidet. Baktanken og et underliggende premiss er at læring skjer gjennom å løse en utfordring/problem (Harel 2013) (Schoenfeld, 2014). Teorien med intellektuelt (Harel 2013) og cognetive demand beskriver også at læreren skal være støttende og veiledende for eleven slik at eleven lager en egen mening for de matematiske ideene og begrepene. Et poeng her er at læreren må gå inn å forstå hvordan eleven forstår noe og dermed også få en indikator på hvordan eleven tenker omkring matematiske ideer og begreper. Dette fordi man lærer nye ting gjennom det man kan fra før (Harel 2013). Som nevnt lærer man ting gjennom å løse en utfordring. Dette gjør man gjennom de strukturene og måte å forstå på som er der gjennom hvordan vi ble og født og hva vi har erfart. Vi modellerer disse strukturene og er ute etter å tilegne oss de kunnskapene og ferdighetene vi trenger videre for å løse det problemet (Harel 2013). Dette fører oss inn på dimensjonen «Agency, Authority and Identity,» og som understreker det poenget med å ta tak i det elevene forstår og tenker. Denne dimensjonen handler om å la elvene komme frem til sine egne løsningsstrategier ved hjelp av diskusjon og argumentering enten med seg selv eller andre. «Agency, Authority and Identity,» dimensjonen samsvarer da godt med det å skape et intellektuelt behov hos elevene da man tar tak i elvenes måte å forstå og tenke på og derfra skape det intellektuelle behovet.  Videre er læreren sin jobb å samle og spisse elvenes måte å tenke på. Det kan sees på som en trakt der læreren starter langt ute med elevenes forskjellige måte å forstå og tenke på og derfra smale inn (ved hjelp av støtte og veiledning) mot den mest effektive og mest hensiktsmessige metoden å løse de forskjellige konkrete matematiske problemene på.

Problemløsningsbasert matematikk.

For å skape det intellektuelle behovet har jeg beskrevet at et viktig premiss er at elevene har et problem der det skapes et behov for å vite mer for å kunne løse problemet. Dette er et særdeles viktig poeng og er selve hovedgrunnlaget for min undervisning. Problemløsningsbasert matematikk vil være med på legge til grunn de premissene som er nevnt ovenfor for å skape et intellektuelt behov. Dette fordi gjennom problemløsningsbasert matematikk jobber man med utfordringer man ikke har en allerede klar algoritme eller metode for, men istedenfor må utforske, resonere og skape sikkerhet og en forklaring med det du gjør gjennom å løse det matematiske problemet (Artigue og Blomhøj 2013). Ved å arbeide på denne måten vil det kunne være med på å gi elevene en konseptuell forståelse i matematikken. Dette fordi de vil erverve seg kunnskaper om hvorfor matematiske ideer og begreper er som de er og hvordan de henger sammen. Det er ønskelig at elevene har en konseptuell forståelse, da det å ha en konseptuell forståelse av matematikken gjør at man får en mer fleksibel forståelse og kan anvende matematikken i flere sammenhenger og ikke bare er låst til algoritmer. Forskning viser også at arbeid med konseptuell forståelse gjør at eleven husker og kan mer av det de har lært (Artigue og Blomhøj 2013).

Undervisningsopplegget.

Ut i fra den overnevnte teorien vil jeg utforme et undervisningsopplegg i matematikk. Undervisningen vil være for en 8. klasse og økten vil vare i 90 minutter. Det er visse forutsetninger som må ligge til grunn for at dette tenkte undervisningsopplegget skal fungere optimalt. Den ene forutsetningen er at dette temaet er nytt for elvene, da et viktig premiss for problemløsningsbasert matematikk er at man ikke kjenner til fremgangsmåten fra før. Den andre forutsetningen er at det allerede er etablert en didaktisk kontrakt mellom lærer og elevene som tillater problemløsning som aktivitet. Den tredje forutsetningen er at læreren kjenner elevene godt, da det er viktig at elevene får utfordringer som er for lette og der det ikke oppstår behov for å erverve seg mer kunnskap (intellektuelt behov).

·         I undervisningen tar jeg utgangspunkt i følgende kompetansemål fra k06: «lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar” (Utdanningsdirektoratet).

Målet for økta er at elevene skal sitte igjen med en utvidet forståelse av likninger, hvordan de kan representeres på forskjellige måter og bruke det på en fleksibel måte i forskjellige sammenhenger.

Jeg starter timen å gi en oppgave. Oppgaven er som følgende: Per skal i fornøyelsespark og kjøre karusell. Det er to fornøyelsesparker han kan velge mellom. I park 1 koster det 100 kr å komme inn og 25 kr per runde med karusellen. I park 2 er det gratis å komme inn, men der koster det 50 kr per runde med karusellen.

1) Avgjør hvor mange turer med karusellen Per må ta i park 2 for at det skal lønne seg, fremfor å ta samme antall turer i park 1.

2) Avgjør hvor mange turer Per må ta med karusellen for at det skal koste like mye i begge parkene.

Årsaken til at jeg velger en oppgave fra den virkelige verden er for at eleven selv skal se behovet og meningen med et symbol for den ukjente kontra de alternative representasjonene 25x+100 og 50x. Jeg gir de en oppgave der de skal sammenligne fordi det vil føre til at de må vurdere gyldigheten opp mot hverandre og ikke bare kan komme med et svar, og fordi å sammenligne kan skape et intellektuelt behov for å se sammenheng mellom de matematiske ideene og begrepene som for eksempel konstantledd og dens betydning.

Jeg lar de først sitte alene å jobbe med oppgaven for deretter å sette dem sammen i grupper på tre og tre. Dette fordi de skal prøve å komme frem til sin egen fremgangsmåte å prøve selv og løse problemet ut fra deres måte å tenke på. De blir etter hvert plassert i grupper for at de skal presentere fremgangsmåten for hverandre fordi de skaper eierskap til metoden sin. Når de skal presentere den for de andre er det to viktige moment det skaper. Det ene er at de får dekket sitt intellektuelle behov for kommunisere om det problemet. Det andre er at når de blir presentert for en strategi som kanskje er litt ulik fra sin egen må de kanskje de modellere sin måte å tenke på og hva de har forstått ut i fra de andres måte å tenke på. Dette vil da kunne være med på å skape et behov for å vite om det man selv har tenkt er sikkert og om det henger sammen og på den måten skape motivasjon for å løse problemet.

Lærerens jobb vil være å gå rundt å støtte opp og veilede gruppene hvor de er. Et viktig moment her at elevene skal får tilstrekkelig med tid til å jobbe med oppgavene og at ikke læreren unødvendig fjerner en del av utfordringen.

Etter at elevene har jobbet slik vil læreren prøve å spise de forskjellige fremgangsmåtene i plenum. Til dette har Stein m.fl. (2008) laget en modell som er hensiktsmessig for dette formålet.

Hentet fra Stein m.fl. (2008:322)

 Med denne modellen har jeg som hensikt å ta utgangspunkt der elevene er og så skape en mening for dem rundt målet for timen. Stegene bygger på hverandre

Steg 1. Forutse elevenes løsningsmetoder

Jeg må forhånd ha en oversikt over så mange forskjellige løsningsmetoder som mulig og tankegangen bak disse. Dette for at jeg skal kunne bygge videre på elevens måte å forstå på slik at det vil gi mening for eleven.

Steg 2 Danne seg en oversikt over elevenes løsningsmetoder

Hvis jeg har gjort en god jobb i steg 1 vil jeg ha gode muligheter til sette meg inn i elevens måter å forstå og tenke på. Når jeg går rundt i klasserommet å støtter opp om elevene vil jeg da kunne opparbeide meg en oversikt som jeg igjen kan bruke i steg 3 der jeg tar tak i elevenes måte å forstå og tenke på. Her vil jeg antagelig på løsningsmetoder som bruk av tabell, grafer, aritmetiske algebra notasjoner og naturlig språk. Det vil også kunne være sammensatte metoder.

Steg 3 Plukke ut hensiktsmessige løsningsmetoder.

Her vil jeg plukke ut forskjellige løsningsmetoder og la gruppene jeg velger presentere dem. Jeg velger ut på bakgrunn av flesteparten av elevenes måte å tenke på, interessante matematiske ideer, og hva som kan være den mest effektive måten å løse det på. Her vil jeg få løsningsmetoder ut i fra steg 2. jeg ville hatt fokus på velge ut en metode med tabell, en aritmetisk algebraisk notasjonsform og grafisk løsning. Dette fordi jeg ønsker da å få frem sammenhengen mellom de forskjellige representasjonene som kan bety det samme.

Steg 4. Velge en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene.

Her vil jeg valgt å starte med tabellen, for så å gå videre to notasjon og deretter grafisk. I mellom løsningene med tabell og notasjon vil jeg minsket tallene på antall kr per tur for at det ville blitt mer utfordrende å føre det inn i en tabell. På den måten ville behovet for å innføre x vært større og dermed kunne det vært med på skape et intellektuelt behov. Dette fører oss inn på steg 5, nemlig å skape sammenheng mellom de forskjellige matematiske ideene. Gjennom å sammenligne disse løsningsmetodene og se på hva som er likt og forskjellig vil det skapes og dekkes den delen av det intellektuelle behovet for å se sammenheng mellom forskjellige matematiske ideer og begreper. Videre vil elevene kunne se nytten av alle de forskjellige representasjonene og hvorfor det er slik. Dette vil være med å gi elevene en dypere og mer fleksibel forståelse av de forskjellige representasjonene og betydningen av dem. Elevene vil også kunne se når de forskjellige representasjonene er mest hensiktsmessig å benytte seg av, som de igjen kan øve på å repetere i videre undervisning.

Prinsippet om tilpassa opplæring vil bli ivaretatt gjennom at de forskjellige matematiske representasjonene har ulik matematisk vanskelighetsgrad. De som er sterkest faglig vil kanskje løse denne med notasjoner, mens de svakere faglig vil kanskje kunne løse det ved hjelp av tabellen.

I et utvidet arbeid ville det vært hensiktsmessig å trekke inn andre relevante teorier som omhandler for eksempel matematisk kompetanse, kommunikasjon samt alternative rammeverk for matematikkundervisning. Valgte teorier vil også ha sine svakheter og begrensinger. For eksempel tar ikke dette undervisningsopplegget for seg vurdering, motivasjon eller valg av pensum.

Kildeliste:

Artigue, Miche`le. Blomhøj, Morten. (2013) Conceptualizing inquiry-based education in mathematics.

Harel, Guershon. (2013) Intellectual Need. University of Cakifornia San Diego.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php (Lest 14.10.2016)

Stein, M. K.; Engle R. A.; Smith, M. S. og Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell, Mathematical Thinking and Learning.

Utdanningsdirektoratet (2013) LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG, Kompetansemål etter 10. årssteget. (http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget) Lest 18.10.

Hvordan kan undervisning fremme muntlighet i matematikk?

De aller fleste vil nok gjenkjenne seg i en matematikkundervisning hvor de færreste elevene er muntlig aktive og at en kun rekker opp handen når en er helt sikker på at en har korrekt svar. Elever forventer en matematikkundervisning som inkluderer at lærer forklarer og illustrerer nye arbeidsmåter på tavle som etterfølges av individuelt arbeid i matematikkbøker, oppgave etter oppgave hvor det gjelder å bli ferdig tidligst mulig (Franke, Kazemi og Battey, 2007). Hvordan kan man endre denne oppfatningen av matematikkundervisningen og legge til rette for god muntlig undervisning?

For å kunne gjøre en endring i den tradisjonelle matematikkundervisningen hvor elevene er lite muntlig aktive og arbeider individuelt er en nødt til å legge til rette for at elevene skal føle at en blir lyttet til og at en bidrar. En lur ide kan da være å lage en didaktisk kontrakt med klassen ved starte med å sette noen grunnregler for utvikling av respektfull dialog og rettferdig deltagelse i undervisningen. Forslag til punkter kan være:

1.      Alle elever skal ha respekt for hva de andre sier

2.      Alle elever lytter til hva de andre har å si

3.      Alle elever kan høre hva de andre sier

4.      Alle elever skal delta i muntlig aktivitet

Disse punktene er åpne og vil passe til en hver klasse og nivå. Uansett alder ligger behovet for bekreftelse og anerkjennelse, og derfor vil dette undervisningsopplegget kunne tilpasses til et hvert trinn (Chapin, O'Connor og Anderson, 2009).

Videre kan undervisningsopplegget om muntlighet i matematikk forankres i Utdanningsdirektoratets læreplan som omtaler regning som grunnleggende ferdighet slik «Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar.» (Udir, u.å.) som heller ikke er tilpasset et gitt trinn.

Det kan være forvirring blant elevene hvilken rolle de bør innta i et klasserom. Jeg vil anta at de fleste tenker at sin rolle går ut på å være stille og kun svare når en blir spurt, eller rekke opp handa når en er helt sikker på at en har korrekt svar. Det er ønskelige vil være at elevene er med på å skape en muntlig dialog hvor en ikke bare svarer med korrekt svar, men også deler sine tanker og resonnementer. For å lære elevene opp til andre roller ønsker jeg å venne elevene av de kjente rollene gjennom rollespill.

Øvelse 1
Rollespillet går ut på at vi gjennomfører rollespill med caser hvor elevene blir delt inn i grupper på fire elever i hver gruppe. Hver elev i gruppen vil få hver sin rolle; nysgjerrigper- spør om hva og hvorfor, skaper diskusjon og ber om begrunnelse, den eldste- den som bestemmer, men alltid hører på alle synspunkter (den tradisjonelle lærerrollen), skeptiker- en som ikke har seg overbevise, og prøver å komme med mot-argumenter og mekler- en som demper konflikter (viktigst for spillet, ikke for matematikken).

Tanken er at elevene skal øve seg i nye roller som de senere kan trekke inn i matematikkundervisningen. Vi gjennomfører flere caser for at elevene skal kunne bli kjent med, og trygg i sine roller (Allern og Drageseth, u.å.).

Casene kan tilpasses forskjellige trinn, og kan til fordel for spillet være knyttet opp til et nylig gjennomgått tema i for eksempel samfunnsfag som elevene har kjennskap til og vil derfor lettere kunne leve seg inn i sin rolle. Casene under er tilpasset 8. trinn hvor de nettopp har arbeidet med krigen i Syria. Start gjerne med en filmsnutt som start for spillet. Eksempel til video som kunne passet som intro for dette rollespillet kan du finne på nettsiden: 

http://www.tv2.no/a/8608708

Case 1

Elevene går i grupper og inntar hver sine roller. De har nå bestemt seg for å flykte fra Mosul da krigen bygger seg opp. Elevene lager lister over eiendeler og eiendom. Liste over de mest verdifulle tingene, og må bli enig om hva som skal selges og hva de ønsker å ta meg seg. De jobber med salg og bytte av varer, og salg av eiendom for å finansiere flukten. Vi hører på lokal musikk mens spillet fortsetter (Allern og Drageseth, u.å.).

Bilde 1

Case 2
Nå har de samlet inn økonomiskkapital for å starte på flukten fra Mosul. De er nødt til å planlegge reiserute og fremkomstmiddel med kart og digitale hjelpemidler. Jeg som lærer spiller med som menneskesmugler og forhandler pris med elevene. Vi hører musikk og skuddveksling i bakgrunn under spillet (Allern og Drageseth, u.å.).

Bilde 2

Øvelse 2
Videre kan en arbeide med gruppeoppgaver i de samme gruppene. Målet med denne øvelsen er at elevene skal kunne dra de allerede innøvde rollene inn i matematikkundervisningen. Elevene arbeider med utforskende matematikk i form av problemløsningsoppgaver. Her bør både arbeidsmåte og tema innenfor matematikk være kjent, hvor fokuset vil være å kunne trekke rollene fra casene inn i oppgaveløsningen. Eksempler på problemløsningsoppgaver kan være:

Oppgave 1
Johanne og Charlotte var og shoppet sko. Johanne fant et par sko for 110 kr og et par til 100 kr. Charlotte fant et par sko som koster 160 kr. Når de skal betale ved kassen sier kassadama at de har slag og at de får 3 par sko for prisen av 2 par. De får den billigste med på kjøpet.

Finn to alternativer for hvor mye Johanne og Charlotte skal betale hver. Forklar hvilket alternativ som er mest rettferdig.
(Sullivan, Knott og Yang, 2015)        

Oppgave 2
Magnus organiserer en tur til flyplassen til en fest for 75 mennesker.
Han kan benytte seg av to typer taxi.

En liten taxi koster 400 kr for en tur og er plass til 4 mennesker.

En stor taxi koster 630 kr for turen og er plass til 7 mennesker.

1.      a) Hvis Magnus bestiller 6 store taxi, hvor mange små taxi trenger han?
b) Hvor mye vil taxituren koste?

2.      Magnus kan organisere turen billigere!
Hvor mange taxier av hver type burde Magnus bestille for å holde utgiftene så lav som mulig?

(Figur hentet fra undervisning 18.10.16 ved UiT)     

Oppgave 3
3 brødre har arvet 17 hester etter sin far. Den eldste sønnen skal ha halvparten av hestene, den nest eldste skal ha en tredjedel og den yngste skal ha en niendedel. Etter å ha klødd seg i hodet en stund, ber de farens beste venn om hjelp.

Han henter sin egen hest, slik at det nå er 18 hester totalt. Så deler han ut halvparten (9 hester) til den eldste sønnen, en tredjedel (6 hester) til den nest eldste og en niendedel (2 hester) til den yngste. Så drar han hjem med sin gamle hest, og problemet er ute av verden.
 Eller er det i realiteten det?
(matematikk.org, u.å.)

                                                                                                                                        

Øvelse 3
Avslutningsvis gjennomføres en felles muntlig diskusjon hvordan oppgavene kan løses. Elevene arbeidet i grupper for å føle seg trygg på at det en deler felles i klassen allerede støttes av gruppen og kan derfor være med på å gjøre elevene trygge på delta i muntlige felles matematiske diskusjoner.

Læreren er sentral
Forskere mener matematiske diskusjoner er nøkkelen til effektiv matematikkundervisning, og for gode diskusjoner spiller læreren en viktig rolle. I de to siste øvelsene er læreren sentral for å gi økt læring gjennom muntlige matematiske diskusjoner. Her har læreren selv muntlighet til å øve på hvordan en arbeider, legger til rette for og gjennomfører gode samtaler med elevene.  Jeg vil særlig trekke ut fem steg som flere forskere har kommet til enighet om for produktive matematiske diskusjoner, til hjelp for lærerne. 

Steg 1:
Første steget handler om at læreren bør kunne forutse elevenes sannsynlige svar til kognitivt krevende matematiske oppgaver. Dette krever en del forarbeid hvor oppgavene er nøye valgt ut og at en har satt seg inn i alternative strategier oppgaveløsningen kan gi.

Bilde 3

Steg 2:
Neste seg handler om å overvåke elevenes svar til oppgavene under utforskende fase. Her er det viktig at en som lærer går rundt og ser hvordan elevene arbeider med oppgavene, og kan gjerne stille spørsmål til hvordan eleven har tenkt. Dette steget kommer til nytte i neste steg.

Steg 3:
Basert på observasjonene under steg 2 har en mulighet til å velge elever med de beste matematiske ideene til å presentere deres resonnementer. Her har man muntligheten til å «holde diskusjonen på sporet» samtidig som en tillater elevene å gjøre spontane bidrag de anser for å være relevant.

Steg 4:
Rekkefølgen elevene presenterer deres resonnementer er viktig, og kan variere ut fra hvilke oppgaver de arbeider med. Rekkefølgen kommer til nytte i steg 5.

Bilde 4

Steg 5:
Siste steget omhandler å hjelpe klassen å lage matematiske sammenhenger mellom de ulike elevenes svar. Ved gode observasjoner i steg to vil en kunne styre denne delen av undervisningen dit en ønsker. Her kan for eksempel elevenes resonnementer bygge på hverandre slik at elevene effektiviserer medelevenes matematiske strategier.
(Stein, Engle, Smith og Hughes, 2008).

Å endre synet på matematikkundervisningen i grunnskolen vil ta tid. Ønsket med dette innlegget var gjennom et åpent undervisningsopplegg å kunne inspirere til mer fokus på hvordan en kan trekke muntlige matematiske diskusjoner inn i matematikkundervisningen for å gi økt læring, samtidig som jeg kommer med tips til små grep som kan hjelpe til på veien.

Lykke til! :-) 

Litteratur

Allern, T. H. og Drageset, O. G. (u.å.). Flukten fra Syria. Et prosessdrama med roller- og perspektivbytte i matematikk.

Chapin, S. H., O’Connor, C. og Anderson, N. C. (2009). Classroom Discussions: Using math talk to help students learn. Sausalito, CA: Math Solutions

Drageset, O. G. og Allern, T. H. (u.å.). Changing classroom discourse.

Franke, M. L., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics teaching and classroom practice. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 225-256): NCTM.

Matematikk.org (u.å.). Tekstnøtt. Arv til bryderi. Hentet 20.10.16 fra
http://www.matematikk.org/trinn8-10/tekstnott.html?tid=105049

Philipp, R. A. (2007). Mathematics teachers beliefs and affect. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research of mathematics teaching and learning (pp. 257-315): NCTM.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math document suite. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical thinking and learning, 10(4), 313-340.

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning. In Task Design In Mathematics Education (pp. 83-114). Springer International Publishing.

Utdanningsdirektoratet (Udir)(u.å.). Læreplan i matematikk fellesfag. Grunnleggjande ferdigheiter. Hentet 19.10.16 fra
http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Grunnleggende_ferdigheter

Figurer:

Videolink: Tvillingene (6): – Det er mange barn som blir brent. De er helt svarte. Jeg vil ikke bli sånn. Hentet 20.10.16 fra

http://www.tv2.no/a/8608708

Bilde 1: Syria conflict in 2015: Another bloody year in the war-torn country. Hentet 20.10.16 fra

http://www.ibtimes.co.uk/syria-conflict-2015-another-bloody-year-war-torn-country-graphic-images-1534832

Bilde 2: Islamic State and the crisis in Iraq and Syria in maps. Hentet 22.10.16 fra

http://www.bbc.com/news/world-middle-east-27838034

Bilde 3 og 4: Talk-Moves: Avdekke misoppfatninger gjennom kommunikasjon. Hentet 20.10.16 fra

http://mastermatdid.blogspot.no/2015/12/talk-moves-avdekke-misoppfatninger.html