Eksamen Lru-3351

Blogg av kandidatnummer 1

Intellectual need.

En del elever føler at matematikken de får undervist på skolen er meningsløs, eller basert på et tynt gitt grunnlag fra læreren, som at dette er noe de må lære seg fordi det blir viktig i forhold til jobb og noe de får bruk for om 10 år. Dette som grunnleggende motivasjon for å lære seg matematikk er ikke holdbart over tid. I følge Harel (2013) må motivasjonen for læring i matematikk ligge i selve matematikken. Hvis matematikken i seg selv er motiverende vil ikke elevene stille spørsmål om hvorfor de skal holde på med det. Dette gjør man ved å skape et intellctual need hos eleven, eller på norsk, et intellektuelt behov. Det handler om å stimulere den iboende nysgjerrigheten i mennesket. Mennesket har behov for å vite om noe er sikkert, om hvorfor det er slik, hva sammenheng mellom ting er og behov for å kunne kommunisere om ting (Harel 2013). Det bør være et mål å fremkalle og stimulere det intellektuelle behovet i matematikkundervisningen slik at matematikken blir motiverende i seg selv.

«Cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”..

Universitetene i Berkley og Nottingham har gått sammen om å lage et rammeverk for god undervisning i matematikk kalt «TRU-math» (Teaching for Robust Understanding of Mathematics). De har i dette rammeverket utarbeidet fem forskjellige dimensjoner i matematikkundervisningen som læreren bør ta hensyn til. Jeg har valgt å fokusere på to av disse i mitt undervisningsopplegg; «cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”. Dette fordi disse to dimensjonene er med på å understreke poenger og premisser ved intellektuelt behov. Cognetive demand dimensjonen er ligner veldig på prinsippet med å skape intellektuelt behov. I likhet med teorien i intellektuelt behov vil man også her at elevene skal utfordres med arbeidet. Baktanken og et underliggende premiss er at læring skjer gjennom å løse en utfordring/problem (Harel 2013) (Schoenfeld, 2014). Teorien med intellektuelt (Harel 2013) og cognetive demand beskriver også at læreren skal være støttende og veiledende for eleven slik at eleven lager en egen mening for de matematiske ideene og begrepene. Et poeng her er at læreren må gå inn å forstå hvordan eleven forstår noe og dermed også få en indikator på hvordan eleven tenker omkring matematiske ideer og begreper. Dette fordi man lærer nye ting gjennom det man kan fra før (Harel 2013). Som nevnt lærer man ting gjennom å løse en utfordring. Dette gjør man gjennom de strukturene og måte å forstå på som er der gjennom hvordan vi ble og født og hva vi har erfart. Vi modellerer disse strukturene og er ute etter å tilegne oss de kunnskapene og ferdighetene vi trenger videre for å løse det problemet (Harel 2013). Dette fører oss inn på dimensjonen «Agency, Authority and Identity,» og som understreker det poenget med å ta tak i det elevene forstår og tenker. Denne dimensjonen handler om å la elvene komme frem til sine egne løsningsstrategier ved hjelp av diskusjon og argumentering enten med seg selv eller andre. «Agency, Authority and Identity,» dimensjonen samsvarer da godt med det å skape et intellektuelt behov hos elevene da man tar tak i elvenes måte å forstå og tenke på og derfra skape det intellektuelle behovet.  Videre er læreren sin jobb å samle og spisse elvenes måte å tenke på. Det kan sees på som en trakt der læreren starter langt ute med elevenes forskjellige måte å forstå og tenke på og derfra smale inn (ved hjelp av støtte og veiledning) mot den mest effektive og mest hensiktsmessige metoden å løse de forskjellige konkrete matematiske problemene på.

Problemløsningsbasert matematikk.

For å skape det intellektuelle behovet har jeg beskrevet at et viktig premiss er at elevene har et problem der det skapes et behov for å vite mer for å kunne løse problemet. Dette er et særdeles viktig poeng og er selve hovedgrunnlaget for min undervisning. Problemløsningsbasert matematikk vil være med på legge til grunn de premissene som er nevnt ovenfor for å skape et intellektuelt behov. Dette fordi gjennom problemløsningsbasert matematikk jobber man med utfordringer man ikke har en allerede klar algoritme eller metode for, men istedenfor må utforske, resonere og skape sikkerhet og en forklaring med det du gjør gjennom å løse det matematiske problemet (Artigue og Blomhøj 2013). Ved å arbeide på denne måten vil det kunne være med på å gi elevene en konseptuell forståelse i matematikken. Dette fordi de vil erverve seg kunnskaper om hvorfor matematiske ideer og begreper er som de er og hvordan de henger sammen. Det er ønskelig at elevene har en konseptuell forståelse, da det å ha en konseptuell forståelse av matematikken gjør at man får en mer fleksibel forståelse og kan anvende matematikken i flere sammenhenger og ikke bare er låst til algoritmer. Forskning viser også at arbeid med konseptuell forståelse gjør at eleven husker og kan mer av det de har lært (Artigue og Blomhøj 2013).

Undervisningsopplegget.

Ut i fra den overnevnte teorien vil jeg utforme et undervisningsopplegg i matematikk. Undervisningen vil være for en 8. klasse og økten vil vare i 90 minutter. Det er visse forutsetninger som må ligge til grunn for at dette tenkte undervisningsopplegget skal fungere optimalt. Den ene forutsetningen er at dette temaet er nytt for elvene, da et viktig premiss for problemløsningsbasert matematikk er at man ikke kjenner til fremgangsmåten fra før. Den andre forutsetningen er at det allerede er etablert en didaktisk kontrakt mellom lærer og elevene som tillater problemløsning som aktivitet. Den tredje forutsetningen er at læreren kjenner elevene godt, da det er viktig at elevene får utfordringer som er for lette og der det ikke oppstår behov for å erverve seg mer kunnskap (intellektuelt behov).

·         I undervisningen tar jeg utgangspunkt i følgende kompetansemål fra k06: «lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar” (Utdanningsdirektoratet).

Målet for økta er at elevene skal sitte igjen med en utvidet forståelse av likninger, hvordan de kan representeres på forskjellige måter og bruke det på en fleksibel måte i forskjellige sammenhenger.

Jeg starter timen å gi en oppgave. Oppgaven er som følgende: Per skal i fornøyelsespark og kjøre karusell. Det er to fornøyelsesparker han kan velge mellom. I park 1 koster det 100 kr å komme inn og 25 kr per runde med karusellen. I park 2 er det gratis å komme inn, men der koster det 50 kr per runde med karusellen.

1) Avgjør hvor mange turer med karusellen Per må ta i park 2 for at det skal lønne seg, fremfor å ta samme antall turer i park 1.

2) Avgjør hvor mange turer Per må ta med karusellen for at det skal koste like mye i begge parkene.

Årsaken til at jeg velger en oppgave fra den virkelige verden er for at eleven selv skal se behovet og meningen med et symbol for den ukjente kontra de alternative representasjonene 25x+100 og 50x. Jeg gir de en oppgave der de skal sammenligne fordi det vil føre til at de må vurdere gyldigheten opp mot hverandre og ikke bare kan komme med et svar, og fordi å sammenligne kan skape et intellektuelt behov for å se sammenheng mellom de matematiske ideene og begrepene som for eksempel konstantledd og dens betydning.

Jeg lar de først sitte alene å jobbe med oppgaven for deretter å sette dem sammen i grupper på tre og tre. Dette fordi de skal prøve å komme frem til sin egen fremgangsmåte å prøve selv og løse problemet ut fra deres måte å tenke på. De blir etter hvert plassert i grupper for at de skal presentere fremgangsmåten for hverandre fordi de skaper eierskap til metoden sin. Når de skal presentere den for de andre er det to viktige moment det skaper. Det ene er at de får dekket sitt intellektuelle behov for kommunisere om det problemet. Det andre er at når de blir presentert for en strategi som kanskje er litt ulik fra sin egen må de kanskje de modellere sin måte å tenke på og hva de har forstått ut i fra de andres måte å tenke på. Dette vil da kunne være med på å skape et behov for å vite om det man selv har tenkt er sikkert og om det henger sammen og på den måten skape motivasjon for å løse problemet.

Lærerens jobb vil være å gå rundt å støtte opp og veilede gruppene hvor de er. Et viktig moment her at elevene skal får tilstrekkelig med tid til å jobbe med oppgavene og at ikke læreren unødvendig fjerner en del av utfordringen.

Etter at elevene har jobbet slik vil læreren prøve å spise de forskjellige fremgangsmåtene i plenum. Til dette har Stein m.fl. (2008) laget en modell som er hensiktsmessig for dette formålet.

Hentet fra Stein m.fl. (2008:322)

 Med denne modellen har jeg som hensikt å ta utgangspunkt der elevene er og så skape en mening for dem rundt målet for timen. Stegene bygger på hverandre

Steg 1. Forutse elevenes løsningsmetoder

Jeg må forhånd ha en oversikt over så mange forskjellige løsningsmetoder som mulig og tankegangen bak disse. Dette for at jeg skal kunne bygge videre på elevens måte å forstå på slik at det vil gi mening for eleven.

Steg 2 Danne seg en oversikt over elevenes løsningsmetoder

Hvis jeg har gjort en god jobb i steg 1 vil jeg ha gode muligheter til sette meg inn i elevens måter å forstå og tenke på. Når jeg går rundt i klasserommet å støtter opp om elevene vil jeg da kunne opparbeide meg en oversikt som jeg igjen kan bruke i steg 3 der jeg tar tak i elevenes måte å forstå og tenke på. Her vil jeg antagelig på løsningsmetoder som bruk av tabell, grafer, aritmetiske algebra notasjoner og naturlig språk. Det vil også kunne være sammensatte metoder.

Steg 3 Plukke ut hensiktsmessige løsningsmetoder.

Her vil jeg plukke ut forskjellige løsningsmetoder og la gruppene jeg velger presentere dem. Jeg velger ut på bakgrunn av flesteparten av elevenes måte å tenke på, interessante matematiske ideer, og hva som kan være den mest effektive måten å løse det på. Her vil jeg få løsningsmetoder ut i fra steg 2. jeg ville hatt fokus på velge ut en metode med tabell, en aritmetisk algebraisk notasjonsform og grafisk løsning. Dette fordi jeg ønsker da å få frem sammenhengen mellom de forskjellige representasjonene som kan bety det samme.

Steg 4. Velge en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene.

Her vil jeg valgt å starte med tabellen, for så å gå videre to notasjon og deretter grafisk. I mellom løsningene med tabell og notasjon vil jeg minsket tallene på antall kr per tur for at det ville blitt mer utfordrende å føre det inn i en tabell. På den måten ville behovet for å innføre x vært større og dermed kunne det vært med på skape et intellektuelt behov. Dette fører oss inn på steg 5, nemlig å skape sammenheng mellom de forskjellige matematiske ideene. Gjennom å sammenligne disse løsningsmetodene og se på hva som er likt og forskjellig vil det skapes og dekkes den delen av det intellektuelle behovet for å se sammenheng mellom forskjellige matematiske ideer og begreper. Videre vil elevene kunne se nytten av alle de forskjellige representasjonene og hvorfor det er slik. Dette vil være med å gi elevene en dypere og mer fleksibel forståelse av de forskjellige representasjonene og betydningen av dem. Elevene vil også kunne se når de forskjellige representasjonene er mest hensiktsmessig å benytte seg av, som de igjen kan øve på å repetere i videre undervisning.

Prinsippet om tilpassa opplæring vil bli ivaretatt gjennom at de forskjellige matematiske representasjonene har ulik matematisk vanskelighetsgrad. De som er sterkest faglig vil kanskje løse denne med notasjoner, mens de svakere faglig vil kanskje kunne løse det ved hjelp av tabellen.

I et utvidet arbeid ville det vært hensiktsmessig å trekke inn andre relevante teorier som omhandler for eksempel matematisk kompetanse, kommunikasjon samt alternative rammeverk for matematikkundervisning. Valgte teorier vil også ha sine svakheter og begrensinger. For eksempel tar ikke dette undervisningsopplegget for seg vurdering, motivasjon eller valg av pensum.

Kildeliste:

Artigue, Miche`le. Blomhøj, Morten. (2013) Conceptualizing inquiry-based education in mathematics.

Harel, Guershon. (2013) Intellectual Need. University of Cakifornia San Diego.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php (Lest 14.10.2016)

Stein, M. K.; Engle R. A.; Smith, M. S. og Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell, Mathematical Thinking and Learning.

Utdanningsdirektoratet (2013) LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG, Kompetansemål etter 10. årssteget. (http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget) Lest 18.10.

Hvordan kan undervisning fremme muntlighet i matematikk?

De aller fleste vil nok gjenkjenne seg i en matematikkundervisning hvor de færreste elevene er muntlig aktive og at en kun rekker opp handen når en er helt sikker på at en har korrekt svar. Elever forventer en matematikkundervisning som inkluderer at lærer forklarer og illustrerer nye arbeidsmåter på tavle som etterfølges av individuelt arbeid i matematikkbøker, oppgave etter oppgave hvor det gjelder å bli ferdig tidligst mulig (Franke, Kazemi og Battey, 2007). Hvordan kan man endre denne oppfatningen av matematikkundervisningen og legge til rette for god muntlig undervisning?

For å kunne gjøre en endring i den tradisjonelle matematikkundervisningen hvor elevene er lite muntlig aktive og arbeider individuelt er en nødt til å legge til rette for at elevene skal føle at en blir lyttet til og at en bidrar. En lur ide kan da være å lage en didaktisk kontrakt med klassen ved starte med å sette noen grunnregler for utvikling av respektfull dialog og rettferdig deltagelse i undervisningen. Forslag til punkter kan være:

1.      Alle elever skal ha respekt for hva de andre sier

2.      Alle elever lytter til hva de andre har å si

3.      Alle elever kan høre hva de andre sier

4.      Alle elever skal delta i muntlig aktivitet

Disse punktene er åpne og vil passe til en hver klasse og nivå. Uansett alder ligger behovet for bekreftelse og anerkjennelse, og derfor vil dette undervisningsopplegget kunne tilpasses til et hvert trinn (Chapin, O'Connor og Anderson, 2009).

Videre kan undervisningsopplegget om muntlighet i matematikk forankres i Utdanningsdirektoratets læreplan som omtaler regning som grunnleggende ferdighet slik «Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar.» (Udir, u.å.) som heller ikke er tilpasset et gitt trinn.

Det kan være forvirring blant elevene hvilken rolle de bør innta i et klasserom. Jeg vil anta at de fleste tenker at sin rolle går ut på å være stille og kun svare når en blir spurt, eller rekke opp handa når en er helt sikker på at en har korrekt svar. Det er ønskelige vil være at elevene er med på å skape en muntlig dialog hvor en ikke bare svarer med korrekt svar, men også deler sine tanker og resonnementer. For å lære elevene opp til andre roller ønsker jeg å venne elevene av de kjente rollene gjennom rollespill.

Øvelse 1
Rollespillet går ut på at vi gjennomfører rollespill med caser hvor elevene blir delt inn i grupper på fire elever i hver gruppe. Hver elev i gruppen vil få hver sin rolle; nysgjerrigper- spør om hva og hvorfor, skaper diskusjon og ber om begrunnelse, den eldste- den som bestemmer, men alltid hører på alle synspunkter (den tradisjonelle lærerrollen), skeptiker- en som ikke har seg overbevise, og prøver å komme med mot-argumenter og mekler- en som demper konflikter (viktigst for spillet, ikke for matematikken).

Tanken er at elevene skal øve seg i nye roller som de senere kan trekke inn i matematikkundervisningen. Vi gjennomfører flere caser for at elevene skal kunne bli kjent med, og trygg i sine roller (Allern og Drageseth, u.å.).

Casene kan tilpasses forskjellige trinn, og kan til fordel for spillet være knyttet opp til et nylig gjennomgått tema i for eksempel samfunnsfag som elevene har kjennskap til og vil derfor lettere kunne leve seg inn i sin rolle. Casene under er tilpasset 8. trinn hvor de nettopp har arbeidet med krigen i Syria. Start gjerne med en filmsnutt som start for spillet. Eksempel til video som kunne passet som intro for dette rollespillet kan du finne på nettsiden: 

http://www.tv2.no/a/8608708

Case 1

Elevene går i grupper og inntar hver sine roller. De har nå bestemt seg for å flykte fra Mosul da krigen bygger seg opp. Elevene lager lister over eiendeler og eiendom. Liste over de mest verdifulle tingene, og må bli enig om hva som skal selges og hva de ønsker å ta meg seg. De jobber med salg og bytte av varer, og salg av eiendom for å finansiere flukten. Vi hører på lokal musikk mens spillet fortsetter (Allern og Drageseth, u.å.).

Bilde 1

Case 2
Nå har de samlet inn økonomiskkapital for å starte på flukten fra Mosul. De er nødt til å planlegge reiserute og fremkomstmiddel med kart og digitale hjelpemidler. Jeg som lærer spiller med som menneskesmugler og forhandler pris med elevene. Vi hører musikk og skuddveksling i bakgrunn under spillet (Allern og Drageseth, u.å.).

Bilde 2

Øvelse 2
Videre kan en arbeide med gruppeoppgaver i de samme gruppene. Målet med denne øvelsen er at elevene skal kunne dra de allerede innøvde rollene inn i matematikkundervisningen. Elevene arbeider med utforskende matematikk i form av problemløsningsoppgaver. Her bør både arbeidsmåte og tema innenfor matematikk være kjent, hvor fokuset vil være å kunne trekke rollene fra casene inn i oppgaveløsningen. Eksempler på problemløsningsoppgaver kan være:

Oppgave 1
Johanne og Charlotte var og shoppet sko. Johanne fant et par sko for 110 kr og et par til 100 kr. Charlotte fant et par sko som koster 160 kr. Når de skal betale ved kassen sier kassadama at de har slag og at de får 3 par sko for prisen av 2 par. De får den billigste med på kjøpet.

Finn to alternativer for hvor mye Johanne og Charlotte skal betale hver. Forklar hvilket alternativ som er mest rettferdig.
(Sullivan, Knott og Yang, 2015)        

Oppgave 2
Magnus organiserer en tur til flyplassen til en fest for 75 mennesker.
Han kan benytte seg av to typer taxi.

En liten taxi koster 400 kr for en tur og er plass til 4 mennesker.

En stor taxi koster 630 kr for turen og er plass til 7 mennesker.

1.      a) Hvis Magnus bestiller 6 store taxi, hvor mange små taxi trenger han?
b) Hvor mye vil taxituren koste?

2.      Magnus kan organisere turen billigere!
Hvor mange taxier av hver type burde Magnus bestille for å holde utgiftene så lav som mulig?

(Figur hentet fra undervisning 18.10.16 ved UiT)     

Oppgave 3
3 brødre har arvet 17 hester etter sin far. Den eldste sønnen skal ha halvparten av hestene, den nest eldste skal ha en tredjedel og den yngste skal ha en niendedel. Etter å ha klødd seg i hodet en stund, ber de farens beste venn om hjelp.

Han henter sin egen hest, slik at det nå er 18 hester totalt. Så deler han ut halvparten (9 hester) til den eldste sønnen, en tredjedel (6 hester) til den nest eldste og en niendedel (2 hester) til den yngste. Så drar han hjem med sin gamle hest, og problemet er ute av verden.
 Eller er det i realiteten det?
(matematikk.org, u.å.)

                                                                                                                                        

Øvelse 3
Avslutningsvis gjennomføres en felles muntlig diskusjon hvordan oppgavene kan løses. Elevene arbeidet i grupper for å føle seg trygg på at det en deler felles i klassen allerede støttes av gruppen og kan derfor være med på å gjøre elevene trygge på delta i muntlige felles matematiske diskusjoner.

Læreren er sentral
Forskere mener matematiske diskusjoner er nøkkelen til effektiv matematikkundervisning, og for gode diskusjoner spiller læreren en viktig rolle. I de to siste øvelsene er læreren sentral for å gi økt læring gjennom muntlige matematiske diskusjoner. Her har læreren selv muntlighet til å øve på hvordan en arbeider, legger til rette for og gjennomfører gode samtaler med elevene.  Jeg vil særlig trekke ut fem steg som flere forskere har kommet til enighet om for produktive matematiske diskusjoner, til hjelp for lærerne. 

Steg 1:
Første steget handler om at læreren bør kunne forutse elevenes sannsynlige svar til kognitivt krevende matematiske oppgaver. Dette krever en del forarbeid hvor oppgavene er nøye valgt ut og at en har satt seg inn i alternative strategier oppgaveløsningen kan gi.

Bilde 3

Steg 2:
Neste seg handler om å overvåke elevenes svar til oppgavene under utforskende fase. Her er det viktig at en som lærer går rundt og ser hvordan elevene arbeider med oppgavene, og kan gjerne stille spørsmål til hvordan eleven har tenkt. Dette steget kommer til nytte i neste steg.

Steg 3:
Basert på observasjonene under steg 2 har en mulighet til å velge elever med de beste matematiske ideene til å presentere deres resonnementer. Her har man muntligheten til å «holde diskusjonen på sporet» samtidig som en tillater elevene å gjøre spontane bidrag de anser for å være relevant.

Steg 4:
Rekkefølgen elevene presenterer deres resonnementer er viktig, og kan variere ut fra hvilke oppgaver de arbeider med. Rekkefølgen kommer til nytte i steg 5.

Bilde 4

Steg 5:
Siste steget omhandler å hjelpe klassen å lage matematiske sammenhenger mellom de ulike elevenes svar. Ved gode observasjoner i steg to vil en kunne styre denne delen av undervisningen dit en ønsker. Her kan for eksempel elevenes resonnementer bygge på hverandre slik at elevene effektiviserer medelevenes matematiske strategier.
(Stein, Engle, Smith og Hughes, 2008).

Å endre synet på matematikkundervisningen i grunnskolen vil ta tid. Ønsket med dette innlegget var gjennom et åpent undervisningsopplegg å kunne inspirere til mer fokus på hvordan en kan trekke muntlige matematiske diskusjoner inn i matematikkundervisningen for å gi økt læring, samtidig som jeg kommer med tips til små grep som kan hjelpe til på veien.

Lykke til! :-) 

Litteratur

Allern, T. H. og Drageset, O. G. (u.å.). Flukten fra Syria. Et prosessdrama med roller- og perspektivbytte i matematikk.

Chapin, S. H., O’Connor, C. og Anderson, N. C. (2009). Classroom Discussions: Using math talk to help students learn. Sausalito, CA: Math Solutions

Drageset, O. G. og Allern, T. H. (u.å.). Changing classroom discourse.

Franke, M. L., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics teaching and classroom practice. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 225-256): NCTM.

Matematikk.org (u.å.). Tekstnøtt. Arv til bryderi. Hentet 20.10.16 fra
http://www.matematikk.org/trinn8-10/tekstnott.html?tid=105049

Philipp, R. A. (2007). Mathematics teachers beliefs and affect. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research of mathematics teaching and learning (pp. 257-315): NCTM.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math document suite. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Stein, M. K., Engle, R. A., Smith, M. S., & Hughes, E. K. (2008). Orchestrating productive mathematical discussions: Five practices for helping teachers move beyond show and tell. Mathematical thinking and learning, 10(4), 313-340.

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning. In Task Design In Mathematics Education (pp. 83-114). Springer International Publishing.

Utdanningsdirektoratet (Udir)(u.å.). Læreplan i matematikk fellesfag. Grunnleggjande ferdigheiter. Hentet 19.10.16 fra
http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Grunnleggende_ferdigheter

Figurer:

Videolink: Tvillingene (6): – Det er mange barn som blir brent. De er helt svarte. Jeg vil ikke bli sånn. Hentet 20.10.16 fra

http://www.tv2.no/a/8608708

Bilde 1: Syria conflict in 2015: Another bloody year in the war-torn country. Hentet 20.10.16 fra

http://www.ibtimes.co.uk/syria-conflict-2015-another-bloody-year-war-torn-country-graphic-images-1534832

Bilde 2: Islamic State and the crisis in Iraq and Syria in maps. Hentet 22.10.16 fra

http://www.bbc.com/news/world-middle-east-27838034

Bilde 3 og 4: Talk-Moves: Avdekke misoppfatninger gjennom kommunikasjon. Hentet 20.10.16 fra

http://mastermatdid.blogspot.no/2015/12/talk-moves-avdekke-misoppfatninger.html

Utforskende basert matematikkundervisning og intellektuelt behov

I skolen virker det å være utbredt praksis å vektlegge introduksjon av formler og regler, for deretter å drive mindre hensiktsmessig mengdetrening. Mange er også av den oppfatning at problemløsning burde finne sted i etterkant av en innføring av et nytt tema. Men kan vi snu på dette? Kan et nytt tema introduseres uten en stram innføring av regler og formler?

Det er også tilsynelatende å fokusert i liten grad på hvordan elevers ways of thinking, eller måter å tenke på i undervisning i matematikk (Harel 2008, 2013). Rammeverket DNR går i dybden på måter å tenke og måter å forså matematikken. Det virker også å være mangel blant lærere på utvidet forståelse innen algebra, funksjoner og læring (Huang og Kulm 2012). Derfor finner jeg det viktig å fokusere på dette matematiske tema.

Mitt formål i denne teksten er ikke å utforme et undervisningsopplegg som skal lære elevene ”algebra eller lineære funksjoner”. Målet er å utforme et undervisningsopplegg som er i henhold til forskning om god undervisning og starte på veien mot en helhetlig, konseptuell forståelse av algebra og lineære funksjoner.  Undervisningsopplegget kan knyttes til kompetansemålet etter 10. trinn:

”Lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar” (Utdanningsdirektoratet 2013)

Hva sier forskning om god matematikkundervisning?

(Illustrasjon nr. 1)

Det fins flere ulike rammeverk for god undervisning. I denne teksten vil rammeverket DNR – duality, necessity and repeated reasoning, være et utgangspunkt. Dette rammeverket innehar premisser fra blant annet kognitiv konstruktivistisk læringsteori. DNR`s rammeverk har dog sine mangler. Dette vil for eksempel være i henhold til motivasjon, skolepolitikk og skolekultur. Alternative rammeverk slik som Tru Math, har 5-dimensjoner som blant annet tar for seg vurdering i større grad (Schoenfeld mfl. 2014). Inquiry Based Mathematics/IBM (Artigue og Blomhøj 2013) argumenterer for problemløsning og utforskende arbeid ved introduksjon av et nytt matematisk tema eller konsept. Rammeverket for utforskende matematikk vil dermed supplere DNR´s rammeverk i denne oppgaven. Både DNR og IBM henger tett sammen med teorien om intellektuelt behov. Jeg vil komme nærmere tilbake til disse litt senere i teksten

DNR premisser

Det fins en rekke premisser for DNR´s rammeverk for undervisning. Sentralt er premissen om matematikk, hvor kunnskapen om matematikk består av alle måter å forstå og alle måter å tenke som har blitt institusjonalisert gjennom historien (Harel 2008: 894).  Innen læring har man et syn på at alle mennesker har en iboende kapasitet til å utvikle en lyst til å bli utfordret og lære seg mentale konstrukter som løser disse utfordringene. Undervisning av matematikk er i følge DNR´s premisser ikke spontant. Det vil alltid være en forskjell på hva en kan utrette ved hjelp av en god lærer, medstudenter og individuelt (Harel 2008: 894). Disse premissene er nødvendige for å ha ”riktige linser” i forståelsen av DNR som et konseptuelt rammeverk for læring og undervisning av matematikk.

Prinsipper for god undervisning

DNR´s rammeverk for undervisning innehar som nevnt de 3 prinsippene duality, necessity and repeated reasoning. Jeg vil kort beskrive to av prinsippene som vil være viktig for senere presentasjon av undervisningsopplegg.

Prinsippet om dualitet omhandler i sin enkelhet at elever utvikler måter å tenke på gjennom produksjonen av måter å forstå, og motsatt: måter å forstå utspringer fra elevens eksisterende måter å tenke (Harel 2008: 899).

Prinsippet om nødvendighet omhandler å skape et intellektuelt behov.  Harel (2008: 900) mener at dette mangler i alle trinn i grunnskolen. Dette kan knyttes til den store vektleggingen i skolen av et typisk undervisningstrekk: et nytt tema introduseres med et tilhørende regnesett. Deretter utfører man en betydelig del mengdetrening, for deretter å begynne på et nytt ”isolert” tema. Dette vil kunne føre til at matematikken i seg selv oppleves som meningsløs. Teorien om intellektuelt behov tar i stor grad for seg denne problemstillingen og er essensielt innenfor både rammeverket DNR, Tru Math og utforskende matematikk.

Intellektuelt behov

En sentral utfordring i utarbeidelse av et undervisningsopplegg er kunsten å skape meningsfulle oppgaver for elevene. De fleste lærere kan nok kjenne seg igjen i en situasjon hvor en får spørsmålet: ”hvorfor må vi kunne dette?” De fleste vil nok også kunne relatere seg til situasjon hvor en har fått til svar: ”fordi det er viktig”.

Teorien om intellektuelt behov er helt sentralt i DNR´s rammeverk og kan også nærmest ses som en nødvendighet i IBM. Det fins i følge teorien 5 ulike kategorier av intellektuelt behov: 1: behov for sikkerhet, 2: behov for kausalitet, 3: behov for beregning, 4: behov for kommunikasjon og 5: behov for struktur (Harel 2013: 123). Følgelig vil disse intellektuelle behovene være vanskelig å snakke om isolert, men vil kunne fremtre i ulik grad i forskjellige settinger.

Jeg vil i denne teksten fokusere på det intellektuelle behovet for beregning, ettersom det har en stor plass i den matematiske praksis. Det er i følge Harel (2013: 133) kanskje det sterkeste intellektuelle behovet i skolematematikken, men blir sjeldent praktisert hensiktsmessig. Dette er et behov som oppstår når det stilles krav til at elevene skal gjøre målinger, bestemme manglende objekt eller forholdet mellom flere objekt gjennom for eksempel symbolsk algebra (Harel 2013:132). En vanlig trend er at man lærer seg i matematikken å transformere ett uttrykk over til et annet. Dette er et nøkkelpoeng i teorien om intellektuelt behov og DNR´s rammeverk som jeg i mitt undervisningsopplegg ønsker å adressere: problemer som presenteres for elevene når de møter et nytt konsept demonstrerer sjeldent den intellektuelle fordelen. Det vil si at en burde forsøke å presentere et nytt konsept for elevene ved å presentere et problem hvor det gir mening og nytte. At elevene over tid lærer seg en hensiktsmessig, effektiv og fleksibel måte å tenke og forstå matematikken.

Utfordringen ligger i å utforme et problem på en slik måte at det er kjent for elevene, men på samme skaper en kognitiv konflikt for elevene slik at de ikke kan løse den ved for eksempel enkle kjente strategier.

IBM - Inquiry based mathematics

Teorien om Inqury based mathematics (Artigue og Blomhøj 2013) omhandler i korte trekk å introdusere et nytt tema med utforskende arbeid. Dette for å kunne bygge en mer utvidet forståelse av matematikken, og skape mening i matematikken i seg selv. Teorien om utforskende matematikk mener ikke at repetering og mengdetrening burde utelukkes, men heller komme etter en har introdusert et arbeid på en utforskende måte. Teorien om intellektuelt behov tar for seg problemstillingen å skape meningsfullt arbeid i matematikken. Utforskende basert matematikk har også den hensikt å aktivere elevene. Det vil si at dem tar eierskap i arbeidet. Dette kan være et steg mot å skape kreative matematikk elever.

Denne videosnutten gir en kort beskrivelse av utforskende basert læring:

Undervisningsopplegg

I dette undervisningsopplegget vil jeg ta utgangspunkt i en 8. klasse. Sekvensen er tenkt over 1 økt på 1,5 time, eventuelt 2 x 45 min. Det overordnede tema er algebra og lineære funksjoner. I oppstart av timen vil elevene bli presentert hvilke forventninger som stilles til dem slik at det skapes en klar oppfatning av sekvensen. Dette for å skape en felles oppfatning at dette er en oppgave som krever litt arbeid og som vi vil bruke to sekvenser på. Oppgaven har en åpen inngang, dvs. at elevene må spesifisere problemet.

Oppgaven: Petter og Lise å bestemme seg for hvor de burde bestille pizza. Byens amerikanske pizza-restaurant kan  tilby 100 kr pr. pizza. Byens Italienske restaurant tilbyr en pizza for 80 kr, men har en fast tilleggspris på 40 kr.pr bestilling. Det vil si om Lise og Petter bestiller 1 eller 10 pizza vil det komme en tilleggsutgift på 40 kr.

(Illustrasjon nr. 2)

Hvor burde Petter og Lise kjøpe pizza?

-       Elevene skal først individuelt finne ut av hva de kan tenke seg det matematiske problemet er og komme frem til et forslag til en løsningsstrategi.

-       Etter det skal elevene arbeide i mindre grupper på maksimalt 3 elever. Her skal elevene presentere sin løsningsstrategi for sine medelever. Deretter skal elevene bli enig om den mest hensiktsmessige løsningsstrategien.

-       Til slutt skal elevene presentere sin valgte løsningsstrategi og løsningsforslag på oppgaven. Løsningsforslagene og strategiene vil legges frem på en hensiktsmessig måte i stigende vanskelighetsgrad.

Avhengig av elevenes forkunnskaper vil læreren ha et godt utgangspunkt for å variere vanskelighetsgraden i oppgaven. Ved å endre prisen på pizza-eksemplene vil det kunne stilles større krav til beregning og vil ikke være like enkelt å forutsi, for eksempel gjennom å stegvis addere: 1 pizza koster 100, ti pizza koster 200 osv. poenget er at man finner den rette vanskelighetsgraden slik at elevene finner et behov for å beregne, og ikke kan benytte seg av kjente løsningsstrategier. På samme tid vil de ulike løsningene være elevenes måter å forstå. Dette kan gi læreren nyttig informasjon for å endre deres måter å tenke på. Utfordringen er som tidligere nevnt å finne en passe vanskelighetsgrad slik at elevene kan bruke noen redskaper av hva de har lært tidligere, men på samme tid ser at: her trenger jeg en ny måte å tenke. Dette knyttes til både intellektuelt behov samt DNR´s målsetning om å komme frem til nye hensiktsmessige måter for ways of thinking.

Læreren har en viktig rolle både i henhold til DNR´s rammeverk og IBM. Lærerens rolle i denne sekvensen vil i oppstarten presentere oppgaven på en tydelig måte. Deretter vil læreren bevege seg rundt å observere og støtte elevene. Dette for å kunne kartlegge for eventuelle endringer eller grep som burde gjøres underveis for å hjelpe elevene mot læring. Læreren vil også ha en viktig rolle gjennom å kartlegge de ulike strategiene som elevene kommer frem til. I denne prosessen vil det være mulig å kunne anta noen av løsningsforslagene. Til slutt vil læreren kunne velge en hensiktsmessig rekkefølge i presentasjon av løsningsstrategiene (Stein mfl. 2008: 322). Sannsynligvis vil noen elever kunne representere sitt løsningsforslag i oppgaven med tabell, andre grafisk og kanskje noen symbolsk. Det er i følge Schlieman og Carragher (2007)  fire typiske representasjonsformer i tidlig algebralæring: aritmetisk algebra notasjon, tabell, grafisk og naturlig språk. Et viktig poeng er at læreren forsøker å støtte og veilede elevene på en måte som ikke reduserer utfordringen. Dette er en krevende øvelse.

Et  viktig poeng med denne type arbeidsform er at den vil ikke nødvendigvis fokuserer på styrke elevenes ferdigheter i regning. Den vil heller ikke nødvendigvis gi umiddelbare resultater. Faktisk vil det i et kortsiktig perspektiv gi ”bedre” resultater å terpe regneferdigheter. Over tid vil et arbeid som fokuserer på konseptuell forståelse gi et mer langvarig læringsutbytte. Dette er tidkrevende og må arbeides med over lengre periode.

Det er selvfølgelig flere utfordringer knyttet til undervisningsopplegget. Læreren må ha kjennskap til elevenes forutsetninger for å kunne løse en slik oppgave. Ideelt sett skal den kunne legge til rette for et spekter av elever, som mestrer og behersker ulik grad og ulike områder innenfor matematikken. Utforskende arbeid er også krevende for elevene. Dermed stilles det krav til læreren for å få klassen med på denne arbeidsformen. Jeg har i midlertid tro på at IBM, DNR og intellektuelt behov er solide teorier som vil på sikt kunne gi en meningsfull undervisning i matematikk.

Referanseliste

Harel, G. (2013): Intellectual need, i Vital Directions for Mathematics Education Research. Springer Science, Business Media. New York.

Harel, G. (2008): A DNR perspective on mathematics curriculum and instruction. Part 2: With reference to teachers knowledge base. I ZDM – Mathematics Education. 40: 893-907

Harel, G. (2008): A DNR perspective on mathematics curriculum and instruction. Part 1: focus on proving. I ZDM – Mathematics Education. 40: 487-500

Artigue, M. Blomhøj M. (2013): Conceptualizing inquiry-b in mathematics, i ZDM - The international Journal on Mathematics Education. Volum 45, nr. 6.

Carragher, D. W. Schliemann, A. D (2007) Early algebra and algebraic reasoning. Kapittel 15, i I F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning. S. 669-705. Charlotte, NC: Information Age.

Huang, R. Kulm, G. (2012): Prospective middle grade mathematics teachers knowledge of algebra for teaching. I Journal of Mathematical Behaviour 31: 417-430.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php (Lest 16.10.2016)

Stein, M. K. Engle R. A. Smith, M. S. Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell. I Mathematical Thinking and Learning. 10:4, 313-340.

Utdanningsdirektoratet (2013): Kompetansemål etter 10. årssteget. Hentet fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget (Lest 19.10.2016)

Bilde illustrasjon nr. 2: hentet fra: http://www.pngall.com/pizza-png  (Åpnet 20.10.2016)

Tegneserie innlustrasjon nr. 1: hentet fra: https://www.pinterest.com/pin/142356038195192327/ (Åpnet 20.10.2016)

Video: hentet fra:   https://www.youtube.com/watch?v=u84ZsS6niPc  (Åpnet 24.10.2016)