I skolen virker det å være utbredt praksis å vektlegge
introduksjon av formler og regler, for deretter å drive mindre hensiktsmessig mengdetrening.
Mange er også av den oppfatning at problemløsning burde finne sted i etterkant
av en innføring av et nytt tema. Men kan vi snu på dette? Kan et nytt tema
introduseres uten en stram innføring av regler og formler?
Det er også tilsynelatende å fokusert i liten grad på
hvordan elevers ways of thinking, eller måter å
tenke på i undervisning i matematikk (Harel 2008, 2013). Rammeverket DNR går i
dybden på måter å tenke og måter å forså matematikken. Det virker også å
være mangel blant lærere på utvidet forståelse innen algebra, funksjoner og
læring (Huang og Kulm 2012). Derfor finner jeg det viktig å fokusere på dette matematiske tema.
Mitt formål i denne teksten er ikke å utforme et
undervisningsopplegg som skal lære elevene ”algebra eller lineære funksjoner”.
Målet er å utforme et undervisningsopplegg som er i henhold til forskning om
god undervisning og starte på veien mot en helhetlig, konseptuell forståelse av
algebra og lineære funksjoner. Undervisningsopplegget
kan knyttes til kompetansemålet etter 10. trinn:
”Lage funksjonar som
beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale
verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av
funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar”
(Utdanningsdirektoratet 2013)
Hva sier forskning om god matematikkundervisning?
 |
| (Illustrasjon nr. 1) |
DNR premisser
Det fins en rekke premisser for DNR´s rammeverk for
undervisning. Sentralt er premissen om matematikk, hvor kunnskapen om
matematikk består av alle måter å forstå og alle måter å tenke som har blitt
institusjonalisert gjennom historien (Harel 2008: 894). Innen læring har man et syn på at alle
mennesker har en iboende kapasitet til å utvikle en lyst til å bli utfordret og
lære seg mentale konstrukter som løser disse utfordringene. Undervisning av
matematikk er i følge DNR´s premisser ikke spontant. Det vil alltid være en
forskjell på hva en kan utrette ved hjelp av en god lærer, medstudenter og
individuelt (Harel 2008: 894). Disse premissene er nødvendige for å ha ”riktige
linser” i forståelsen av DNR som et konseptuelt rammeverk for læring og
undervisning av matematikk.
Prinsipper for god undervisning
DNR´s rammeverk for undervisning innehar som nevnt de 3
prinsippene duality, necessity and
repeated reasoning. Jeg vil kort beskrive to av prinsippene som vil være viktig
for senere presentasjon av undervisningsopplegg.
Prinsippet om dualitet omhandler i sin enkelhet at elever
utvikler måter å tenke på gjennom produksjonen av måter å forstå, og motsatt:
måter å forstå utspringer fra elevens eksisterende måter å tenke (Harel 2008:
899).
Prinsippet om nødvendighet omhandler å skape et
intellektuelt behov. Harel (2008: 900)
mener at dette mangler i alle trinn i grunnskolen. Dette kan knyttes til den
store vektleggingen i skolen av et typisk undervisningstrekk: et nytt tema
introduseres med et tilhørende regnesett. Deretter utfører man en betydelig del
mengdetrening, for deretter å begynne på et nytt ”isolert” tema. Dette vil
kunne føre til at matematikken i seg selv oppleves som meningsløs. Teorien om
intellektuelt behov tar i stor grad for seg denne problemstillingen og er
essensielt innenfor både rammeverket DNR, Tru Math og utforskende matematikk.
Intellektuelt behov
En sentral utfordring i utarbeidelse av et
undervisningsopplegg er kunsten å skape meningsfulle oppgaver for elevene. De
fleste lærere kan nok kjenne seg igjen i en situasjon hvor en får spørsmålet:
”hvorfor må vi kunne dette?” De fleste vil nok også kunne relatere seg til
situasjon hvor en har fått til svar: ”fordi det er viktig”.
Teorien om intellektuelt behov er helt sentralt i DNR´s
rammeverk og kan også nærmest ses som en nødvendighet i IBM. Det fins i følge teorien 5 ulike kategorier
av intellektuelt behov: 1: behov for sikkerhet, 2: behov for kausalitet, 3:
behov for beregning, 4: behov for kommunikasjon og 5: behov for struktur (Harel
2013: 123). Følgelig vil disse intellektuelle behovene være vanskelig å snakke
om isolert, men vil kunne fremtre i ulik grad i forskjellige settinger.
Jeg vil i denne teksten fokusere på det intellektuelle
behovet for beregning, ettersom det har en stor plass i den matematiske
praksis. Det er i følge Harel (2013: 133) kanskje det sterkeste intellektuelle
behovet i skolematematikken, men blir sjeldent praktisert hensiktsmessig.
Dette er et behov som oppstår når det stilles krav til at elevene skal gjøre
målinger, bestemme manglende objekt eller forholdet mellom flere objekt gjennom
for eksempel symbolsk algebra (Harel 2013:132). En vanlig trend er at man
lærer seg i matematikken å transformere ett uttrykk over til et annet. Dette er
et nøkkelpoeng i teorien om intellektuelt behov og DNR´s rammeverk som jeg i
mitt undervisningsopplegg ønsker å adressere: problemer som presenteres for
elevene når de møter et nytt konsept demonstrerer sjeldent den intellektuelle
fordelen. Det vil si at en burde forsøke å presentere et nytt konsept for
elevene ved å presentere et problem hvor det gir mening og nytte. At elevene
over tid lærer seg en hensiktsmessig, effektiv og fleksibel måte å tenke og forstå matematikken.
Utfordringen ligger i å utforme et problem på en slik måte
at det er kjent for elevene, men på samme skaper en kognitiv konflikt for
elevene slik at de ikke kan løse den ved for eksempel enkle kjente strategier.
IBM - Inquiry based mathematics
Teorien om Inqury based mathematics
(Artigue og Blomhøj 2013) omhandler i korte trekk å introdusere et nytt tema
med utforskende arbeid. Dette for å kunne bygge en mer utvidet forståelse av
matematikken, og skape mening i matematikken i seg selv. Teorien om utforskende
matematikk mener ikke at repetering og mengdetrening burde utelukkes, men
heller komme etter en har introdusert et arbeid på en utforskende måte. Teorien
om intellektuelt behov tar for seg problemstillingen å skape meningsfullt
arbeid i matematikken. Utforskende basert matematikk har også den hensikt å
aktivere elevene. Det vil si at dem tar eierskap i arbeidet. Dette kan være et
steg mot å skape kreative matematikk elever.
Denne videosnutten gir en kort beskrivelse av utforskende
basert læring:
Undervisningsopplegg
I dette undervisningsopplegget vil jeg ta utgangspunkt i en
8. klasse. Sekvensen er tenkt over 1 økt på 1,5 time, eventuelt 2 x 45 min. Det
overordnede tema er algebra og lineære funksjoner. I oppstart av timen vil
elevene bli presentert hvilke forventninger som stilles til dem slik at det
skapes en klar oppfatning av sekvensen. Dette for å skape en felles oppfatning
at dette er en oppgave som krever litt arbeid og som vi vil bruke to sekvenser
på. Oppgaven har en åpen inngang, dvs. at elevene må spesifisere problemet.
Oppgaven: Petter og Lise å bestemme seg for hvor de burde
bestille pizza. Byens amerikanske pizza-restaurant kan tilby 100 kr pr. pizza. Byens Italienske
restaurant tilbyr en pizza for 80 kr, men har en fast tilleggspris på 40 kr.pr
bestilling. Det vil si om Lise og Petter bestiller 1 eller 10 pizza vil det
komme en tilleggsutgift på 40 kr.
 |
| (Illustrasjon nr. 2) |
Hvor burde Petter og Lise kjøpe pizza?
-
Elevene skal først individuelt finne ut av hva
de kan tenke seg det matematiske problemet er og komme frem til et forslag til
en løsningsstrategi.
-
Etter det skal elevene arbeide i mindre grupper
på maksimalt 3 elever. Her skal elevene presentere sin løsningsstrategi for
sine medelever. Deretter skal elevene bli enig om den mest hensiktsmessige
løsningsstrategien.
-
Til slutt skal elevene presentere sin valgte
løsningsstrategi og løsningsforslag på oppgaven. Løsningsforslagene og
strategiene vil legges frem på en hensiktsmessig måte i stigende
vanskelighetsgrad.
Avhengig av elevenes forkunnskaper vil læreren ha et godt
utgangspunkt for å variere vanskelighetsgraden i oppgaven. Ved å endre prisen
på pizza-eksemplene vil det kunne stilles større krav til beregning og vil ikke
være like enkelt å forutsi, for eksempel gjennom å stegvis addere: 1 pizza
koster 100, ti pizza koster 200 osv. poenget er at man finner den rette
vanskelighetsgraden slik at elevene finner et behov for å beregne, og ikke kan
benytte seg av kjente løsningsstrategier. På samme tid vil de ulike løsningene
være elevenes måter å forstå. Dette
kan gi læreren nyttig informasjon for å endre deres måter å tenke på. Utfordringen er som tidligere
nevnt å finne en passe vanskelighetsgrad slik at elevene kan bruke noen
redskaper av hva de har lært tidligere, men på samme tid ser at: her trenger
jeg en ny måte å tenke. Dette knyttes til både intellektuelt behov samt DNR´s
målsetning om å komme frem til nye hensiktsmessige måter for ways of thinking.
Læreren har en viktig rolle både i henhold til DNR´s
rammeverk og IBM. Lærerens rolle i denne sekvensen vil i oppstarten presentere
oppgaven på en tydelig måte. Deretter vil læreren bevege seg rundt å observere
og støtte elevene. Dette for å kunne kartlegge for eventuelle endringer eller
grep som burde gjøres underveis for å hjelpe elevene mot læring. Læreren vil
også ha en viktig rolle gjennom å kartlegge de ulike strategiene som elevene
kommer frem til. I denne prosessen vil det være mulig å kunne anta noen av løsningsforslagene.
Til slutt vil læreren kunne velge en hensiktsmessig rekkefølge i presentasjon
av løsningsstrategiene (Stein mfl. 2008: 322). Sannsynligvis vil noen elever
kunne representere sitt løsningsforslag i oppgaven med tabell, andre grafisk og
kanskje noen symbolsk. Det er i følge Schlieman og Carragher (2007) fire typiske representasjonsformer i tidlig
algebralæring: aritmetisk algebra notasjon, tabell, grafisk og naturlig språk.
Et viktig poeng er at læreren forsøker å støtte og veilede elevene på en måte
som ikke reduserer utfordringen. Dette er en krevende øvelse.
Et viktig poeng med
denne type arbeidsform er at den vil ikke nødvendigvis fokuserer på styrke
elevenes ferdigheter i regning. Den vil heller ikke nødvendigvis gi umiddelbare
resultater. Faktisk vil det i et kortsiktig perspektiv gi ”bedre” resultater å
terpe regneferdigheter. Over tid vil et arbeid som fokuserer på konseptuell
forståelse gi et mer langvarig læringsutbytte. Dette er tidkrevende og må
arbeides med over lengre periode.
Det er selvfølgelig flere utfordringer knyttet til
undervisningsopplegget. Læreren må ha kjennskap til elevenes forutsetninger for
å kunne løse en slik oppgave. Ideelt sett skal den kunne legge til rette for et
spekter av elever, som mestrer og behersker ulik grad og ulike områder innenfor
matematikken. Utforskende arbeid er også krevende for elevene. Dermed stilles
det krav til læreren for å få klassen med på denne arbeidsformen. Jeg har i
midlertid tro på at IBM, DNR og intellektuelt behov er solide teorier som vil
på sikt kunne gi en meningsfull undervisning i matematikk.
Referanseliste
Harel, G.
(2013): Intellectual need, i Vital Directions for Mathematics
Education Research. Springer Science, Business Media. New York.
Harel, G.
(2008): A DNR perspective on mathematics
curriculum and instruction. Part 2: With reference to teachers knowledge base.
I ZDM – Mathematics Education. 40: 893-907
Harel, G.
(2008): A DNR perspective on mathematics
curriculum and instruction. Part 1: focus on proving. I ZDM – Mathematics
Education. 40: 487-500
Artigue, M.
Blomhøj M. (2013): Conceptualizing
inquiry-b in mathematics, i ZDM - The international Journal on Mathematics
Education. Volum 45, nr. 6.
Carragher,
D. W. Schliemann, A. D (2007) Early
algebra and algebraic reasoning. Kapittel 15, i I F. K. Lester
(Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning.
S. 669-705. Charlotte, NC: Information Age.
Huang, R. Kulm, G. (2012): Prospective middle grade mathematics teachers knowledge of algebra for
teaching. I Journal of Mathematical Behaviour 31: 417-430.
Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project.
Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of
California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.
Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php
(Lest 16.10.2016)
Stein, M. K. Engle R. A. Smith, M. S. Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical
Discussions: Five Practises for
Helping Teachers Move Beyond Show and Tell. I Mathematical Thinking and
Learning. 10:4, 313-340.
Utdanningsdirektoratet
(2013): Kompetansemål etter 10. årssteget.
Hentet fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget
(Lest 19.10.2016)
Tegneserie innlustrasjon nr. 1: hentet fra: https://www.pinterest.com/pin/142356038195192327/ (Åpnet
20.10.2016)
Ingen kommentarer:
Legg inn en kommentar