Konstruering av algebraiske uttrykk for spesifikke endringer i figurers masse.

For mange ganger har jeg hørt elever frustrert si «Hva skal jeg bruke dette til?» eller «Hvorfor må vi ha bokstaver inn i matten?». I dette innlegget vil jeg presentere en av mange måter vi som lærere kan bidra til at elever ser algebraens funksjonalitet og rolle i matematikkens verden.

For å gå rett på sak vet vi at algebra kan være et særdeles vanskelig emne for enkelte, samtidig som norske elever presterer markant dårligere enn andre land i både algebra og geometri (Grønmo, Onstad, Nilsen, Holde, Aslaksen og Borge 2012: 25). Mer spesifikt er det også vist at elever sliter med å estimere antall kuber i en sammensatt figur (Battista, Boerst, Confrey, Knuth, Smith, Sutton, White, Quander 2007: 225), samtidig som flere også sliter med å representere algebraiske uttrykk geometrisk (Huang og Kulm 2012:420). Hvordan kan man så lage et undervisningsopplegg som tar hensyn til nettopp dette?

Undervisningens teoretiske utgangspunkt

TRU-Math

Undervisningens struktur er inspirert av et av TRU-Maths opplegg, men oppgavene er dog mer rettet opp mot tredimensjonale figurer som kan falle inn under betegnelsen problemløsningsoppgaver. Teaching for Robust Understanding in Mathemathics viser til overlappende dimensjoner av klasseromsaktiviteter for å bedre matematikkundervisningen. Disse dimensjonene kan sees representert i dette undervisningsopplegget ved at det starter med å belyse de misoppfatninger som kan virke særlig hindrende for de kommende oppgavene. Videre skal elevene se sammenhengen mellom flere matematiske konsept, håndtere utfordringer og gjennom små grupper stimulere til deltakelse for hver enkelt elev. Som en følge av oppgavenes struktur, kan alle bidrag uavhengig av løserens kompetanse belyse nye løsningsstrategier, noe som kan styrke hver enkelts syn på seg selv som en matematisk aktør. Samarbeidet skaper også muligheten til å bygge på hverandres argumentasjonsrekker. (Schoenfeld 2014:2)

Problembasert læring

Problembasert læring kan betegnes på et hav av forskjellige måter, men enkelte trekk kan sees som mer gjengående, dette er bl.a. at: Elevene utvikler evner i å konstruere nye matematiske representasjonsformer, i dette tilfellet algebraiske representasjoner. Utvikling av elevenes evne til å se mønstre skjer gjennom oppleggets krav til å oppdage figurenes vekstmønster. Oppgavene er formet slik at løsningsmetodene ikke er innlysende og har flere forskjellige naturlige løsningsstrategier. Sist men ikke minst også at elevene gjennom frustrasjon og nysgjerrighet får det som kan betegnes som «gleden av matematiske oppdagelser». (Koichu 2014:116-117) Den sistnevnte er noe av det jeg anser som den største fordelen med slike oppgaver. Nettopp deres stimulerende effekt for elevenes intellektuelle behov. Mer presist kan man si at opplegget er rettet mot deres latente behov for beregninger. Dette er et behov som «aktiviseres» når det stilles krav til at elevene skal gjøre målinger, bestemme manglende objekt, bestemme egenskapene ved et objekt eller forholdet mellom flere objekt gjennom for eksempel symbolsk algebra. (Harel 2013:132)

En gjennomgående egenskap ved problemløsningsoppgavene er nettopp fokuset på problem. Forskning gjort av Fuller, Rabin og Harel (2011) nevner bl. a. at arbeid preget av «problemfrihet» kan gjøre at elevene får et uklart inntrykk av den typen problem de arbeider med (83). Det er dermed naturlig at det legges et større fokus på graden assistanse elevene får i disse arbeidsprosessene. Eksempelet brukt til å konkretisere oppgavene er henholdsvis formet slikt at den i så liten grad som mulig fjerner problemer elever kan møte i arbeidsoppgavene.

Hensikt

Undervisningens hensikt er bl.a. å forbedre elevenes innsikt i formulering av algebraiske uttrykk, forkortelser, mønstergjenkjenning, bruk av parenteser og betydningen av x som en variabel. Det kan også argumenteres for at elevene trenes i andre ferdigheter. Eksempelvis er elevenes evne til å gjøre algebraiske representasjoner en essensiell del av deres evne til å gjøre geometriske målinger (Battista 2007:892). Det er dog ikke geometriske målinger som er hovedfokus her, men heller strukturering og bruk av algebraiske uttrykk. Mer spesifikt er disse oppgavene knyttet opp mot det skapende aspektet av algebraisk aktivitet. Det er tross alt innen dette området at store deler av elevenes forståelse av algebraiske objekters hensikter ligger (Kieran 2007:713).

Hjemmeoppgave

For å få en bedre innsikt i elevenes forståelse av det området vi skal arbeide med, blir jeg å levere ut et kartleggende oppgavesett som skal leveres inn noen dager før opplegget gjennomføres. 

Det opprinnelige undervisningsopplegget (TRU-Math) har utgangspunkt i utvikling av elevenes konseptuelle ferdigheter. Dette innebærer et fokus på elevenes forståelse av forskjellige matematiske konsept og samtidig koble det aktuelle området opp mot elevers tidligere tilegnede matematiske ferdigheter. «Kartleggingsoppgavene» (sett under) er designet for å oppdage misforståelser knyttet opp mot det aktuelle emnet, i dette tilfellet algebraiske uttrykk. (Mathemathics Assessment Resource Service 2013-2015: 3)

1: Skriv algebraiske uttrykk for de følgende setningene:

1.a) Multipliser n med 5 forså legg til 6.                                _________________________________

1.b) Legg 4 til n multipliser så med 5.                                   _________________________________

1.c) Multipliser n med n multipliser så med 3.                      _________________________________

1.d) Multipliser n med 3, ta så kvadratrota av dette tallet.    _________________________________

2: Forkort uttrykkene under:

7x-4+2x-2+x

2(x-1)(x-1)

4(1/2(x+2)+4)

2) Skriv de algebraiske uttrykkene for utregning av figurenes areal:

A)

  

B)

C)

D)

E)

Undervisningen (Totalt 90 min.)

Undervisningen blir (ved behov) å starte med en gjennomgang av betydningsfulle eller vanlige feil gjort i hjemmeoppgavene (Beregnet tid 15 min.)

Oppgavetekst

Beregnet tid 60 min.

A)     Lag et algebraisk uttrykk som viser mengden «klosser» i en gitt figur N som følger utviklingen av de tre viste figurene.

B)      Hva er det de forskjellige leddene i uttrykket representerer?

C)      Kan uttrykket forkortes?

For å konkretisere oppgavene blir vi gjennom dialog se hvordan denne figuren utvikler seg og sammen forme det algebraiske uttrykket X^2.

Video som viser bruk av 123D-Design som interaktiv tavle

Arbeidet blir å foregå i grupper på to og to som er delt inn med hensyn til deres hjemmeoppgave.  Når gruppene arbeider med de forskjellige oppgavene blir jeg å notere meg gruppenes fremgangsmetode, men også hvilket uttrykk de får som sluttprodukt til bruk i oppsummeringssamtalen.

For at elevene enklere kan utforske modellene får de benytte konkreter i form av typen «Multilink». Disse gjør at elevene kan bygge modellene i de forskjellige stadiene for så dele de opp og undersøke modellens egenskaper.  På tavlen vil elevene kunne se figurene og deres utvikling gjennom programmet 123D-Design (Slik vist i videoen over).

Undervisningen er knyttet opp mot kompetansemålet «behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, knyte uttrykka til praktiske situasjonar, rekne med formlar, parentesar og brøkuttrykk og bruke kvadratsetningane»(Utdanningsdirektoratet 2013).

Modell 1

Som vi kan se har den første modellen en synelatende enkel form. Den består av et sett «klosser» som danner en større kube, samtidig som man har en «flat» figur på toppen av denne. Selv om dette synelatende kan være en enkel oppgave for enkelte, åpner den for svært gode diskusjoner rundt utformingen av algebraiske uttrykk. Det mest naturlige kan her være å bruke den største kubens lengde eller bredde som x, for så å betegne den øverste lengden som (x-2). Den nederste kuben vil da ha en potens på 3 (Dette fordi man må multiplisere figurens lengde, bredde og høyde), mens den øverste vil ha en på 2 (Da figurens høyde er 1 trenger man kun å ta hensyn til å multiplisere lengden med bredden, og uttrykket blir da x^3+(x-2)^2). En annen måte er dog å representere figuren som (x+2)^3+x^2 hvor x tilsvarer lengden på den øverste minste delen av figuren. Forskjellen på disse er at den sistnevnte også vil passe over ens med figurens nummer i rekken. Henholdsvis vil det sistnevnte uttrykket vise til modell nummer én når x=1. Dette kan gjøre at dette uttrykket vil kunne gi en mer presis besvarelse av en oppgave lik: Hvor mange klosser er det i figur nummer 13.

På grunn av oppgavens for så vidt enkle struktur, bruker jeg denne til å eksemplifisere det utforskende aspektet av å arbeide med slike oppgaver. For meg som har laget denne figuren virker denne for så vidt enkel og rett frem. Men da jeg har prøvd ut disse modellene på andre har jeg fått sett deres resoneringsprosess i løsningen av denne oppgaven. En startet med å se hvordan mengden klosser i den øvre delen av figuren forholdt seg til den nederste kubeformen. Videre lagde han et skjema for å konkretisere dette, selv om han ut fra denne dataen ikke klarte å hente ut noe konstruktiv informasjon, gjorde dette at han oppdaget at han måtte se på hvordan figurenes lengder (ikke mengde) forholdt seg til hverandre, og ut fra dette oppdaget han at den øverste figurs lengde alltids var 2 mindre enn lengden til den nederste kubiske formen. I et annet tilfelle startet oppgaveløseren å undersøke hvorvidt det var en sammenheng mellom utviklingen av den øverste figuren og trekanttall. (Unt. Har fått samtykke fra løserne til å bruke deres utregning i denne oppgaven)

Modell 2

Den neste modellen er en videreutvikling av den forrige modellen ved at den har en kubisk form, men i motsetning til den forrige modellen er det nå ikke lagt på noe ekstra men heller fjernet deler av kuben. Noe av det som er interessant med denne figuren er at denne kan ha minst to helt forskjellige svar. En kan her se på figuren som en kube hvor det er fjernet en mindre del av sidene tilsvarende lik to mindre enn figurens lengde, samtidig som også figurens «innmat» er fjernet. Denne innmaten kan selvfølgelig også betegnes som to mindre enn lengden eller bredden på kuben. En slik tolkning av oppgaven kan gi uttrykket x^3-6(x-2)^2-(x-2)^3.

GIF av en utforskende prosess hvor løseren ser denne løsningen

Den andre måten å regne ut mengden «klosser» kan gjøres ved å se at de fire hjørnene alltids er konstant, og at det som endres er radene med klosser mellom hjørnene. Man kan da bare telle antall «linjer» av X og til slutt legge til de fire hjørnene. Henholdsvis kan en slik tolkning vise seg i uttrykket 12x+4.

GIF av alternativ løsningsmetode

Hint

Som Powel m. fl. (2009) poengterer, bør problemløsningsoppgaver være slik at ikke bare de flinkeste elevene får til å regne dem (133-134). Dette er i tråd med en av TRU-Maths dimensjoner; at det matematiske innholdet skal være tilgjengelig for alle deltakerne (Schoenfeld 2014:2). Det må nevnes at det i klassen bør være en forståelse for at det er "reisen" de lærer av, ikke "målet" (Stillmann, Cheung, Mason, Sheffield, Sriraman og Ueno 2009:252). Elevene må også bli oppfordret til å bruke hintene som en siste en siste nødløsning og at det vektlegges at elevene prøver en god stund først før de bruker hintene.

Modell 1

Hint 1

Formelen for å regne ut volumet av en figur er «Lengde x Bredde x Høyde, altså ved kuber x^3»

Hint 2

Hvordan forholder den øverste figurens lengde seg til den nederste?

Hint 3

Hvordan kan man representere de to forskjellige lengdene ved bruk av en variabel?

Modell 2

Hint 1

Kan figuren sees som en figur dere kjenner igjen som mangler noe?

Hint 2

Hvordan kan man representere de forskjellige delene som «mangler»?

Oppsummerende samtale

Det er satt av 20 min. til å gjennomgå oppgavene fordi jeg mener en stor del av læringspotensialet i slike oppgaver ligger i refleksjonene elevene har gjort. Elevene får her muligheten til å høre andres refleksjoner, men også gjennom diskusjon med lærer og andre grupper argumentere for bl. a. hvilken lengde de har tilegnet variabelen eller hvilken fremgangsmetode de har brukt.

For å bruke Scott og Mortimers (2005) begrep kan samtalens dynamikk sees å ha en interaktiv dialogisk tilnærming. Dette vil si at jeg som lærer tar hensyn til alle elevers innfallsvinkler og gjennom disse former en dialog rundt oppgavene (399-400). For å få en konstruktiv og omfattende oppsummeringssamtale bruker jeg Stein m. fls. (2008) modell for å strukturere klassesamtalen. Denne modellen presiserer bl. a. at man bør være forberedt på forskjellige typer svar elevene kan komme frem til, samtidig som man gjennom observasjoner av elevenes arbeidsprosess gjør seg et selektivt utvalg av elevgrupper til å føre den oppsummerende samtalen. Ved at jeg avslutningsvis oppsummerer og bidrar til at elevene selv klarer å gjøre metodiske sammenligninger av de forskjellige uttrykkene, bidrar jeg til å konkretisere den kunnskapen elevene selv har vært med på å forme (321). 

Referanseliste

Battista, M. (2007):The Development of Geometric and Spatial thinking. I F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 707–762). Charlotte, NC: Information Age.

Battista, M. Boerst, T. Confrey, J. Knuth, E. Smith, M, S. Sutton, J. White, D. Quander, J(red): Research in Mathemathics Education: Multiple Methods for Multiple Uses. NCTM Research Committee. Hentet fra: http://faculty.tarleton.edu/garza/documents/Research_in_Mathematics_Education_Article.pdf (Lest 17.10. 16)

Fuller, E. Rabin, J, M. Harel, G. (2011): Intellectual Need and Problem-Free Activity in the mathemathics. International Journal for Studies in Mathematics Education

Grønmo, L, S. Onstad, T. Nilsen, T. Holde, A. Aslaksen, H. Borge, I, C. (2012): Framgang, men langt fram Norske elevers prestasjoner i matematikk og naturfag i TIMSS 2011. Akademia forlag. Hentet fra http://www.timss.no/timss_2011_web.pdf (Lest 19.10.16)

Harel, G. (2013): Intellectual Need, i Vital Directions for Mathematics Education Research. Springer Science, Business Media. New York.

Huang, R. Kulm, G. (2012): Prospective middle grade mathematics teachers’ knowledge of algebra for teaching. Middle Tennessee State University USA.

Kieran, C. (2007). Learning and teaching algebra at the middle school through college levels. In F. K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning (pp. 707–762). Charlotte, NC: Information Age.

Koichu, B. (2014): Reflections on Problem-solving, i Mathematics & Mathematics Education: searching for Common Ground, Advances in Mathematics Education. Springer Science og Business Media Dordrecht

Mathemathics Assessment Resource (2013-2014): A brief guide for teachers and administrators. University of Nottingham and UC Berkeley. Hentet fra: http://map.mathshell.org/guides/map_cc_teacher_guide.pdf (Lest 22.10. 16)

Powel, A, B. Borge, I, C. Fioriti, G, I. Kondratieva, M. Koublanova, E. Sukthankar, N. (2009). Challenging tasks and Mathemathics Learning. I Challenging Mathematics In and Beyond the Classroom, New ICMI Study Series 12. Springer Science

Scott, P. Mortimer, E. (2005); Meaning making in High School science classrooms: A framework for analysing meaning making interactions. Springer. Netherlands

Stein, M, K. Engle, R, A. Smith, M, S. Hughes, E, K. (2008): Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practices for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell. Routledge. Hentet fra: http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10986060802229675 (Lest 18.10.16)

Stillman, G. Cheung, K. Mason, R. Sheffield, L. Sriraman, B. Ueno, K. (2009): Challenging Mathematics: Classroom Practices. I Challenging Mathemathics In and Beyond the Classroom. New ICMI Study series 12. Springer Science. Hentet fra: https://fronter.com/uit/links/files.phtml/1762118052$177137386$/Arkiv/Pensumlitteratur/Undervisning/Challenging+mathematics+classroom+practices+-+Stillman+et+al.pdf (Lest 22.10.16)

Schoenfeld, A, H. (2014): An Introduction to the TRU Math Dimensions. US. Berkeley. Hentet fra: http://ats.berkeley.edu/tools.html (Lest 22.10.16)

Utdanningsdirektoratet (2013): Kompetansemål etter 10. årssteget. Hentet fra: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget (Lest 22.10. 16)