Sannsynlighet og intuisjon - Kandidat 2

Innledning:

Sannsynlighet er kanskje det emne i matematikk som stemmer dårligst overens med elevenes intuisjon og antagelser. Dette gjør at elever ofte danner seg ofte misoppfatninger, noe som kan gjøre at sannsynlighet virker ulogisk og bli vanskelig å forstå. (Jones, Langrall & Mooney, 2007:914). Monty Hall problemet er kanskje det mest velkjente eksempelet på dette. Se videoen under for en introduksjon til problemet:

 (Brady & Numberphile, 2014)

Det mest interessante med Monty Hall problemet er det har skapt diskusjoner i flere tiår (Tierney 1991). Kommentarene under youtube-videoen er et eksempel på det fortsatt drives debatt rundt problemet. Mange kan ha problemer med å akseptere at det lønner seg å bytte dør, selv etter løsningen på problemet har blitt grundig forklart. Det kan nesten virke som det er en konflikt mellom intuisjon og matematiske argumenter.

Forskning om sannsynlighetsundervisning:

En av de vanligste misoppfatningene som man finner hos elever i alle aldre kan skyldes et kausalt syn på tilfeldige forsøk, for eksempel et myntkast. Dette fører til at elever kan mene at utfall fra tidligere tilfeldige forsøk vil påvirke det neste. Ved å bruke denne logikken så kan man argumentere for at det vil være større sannsynlighet for å få mynt, fordi de fire siste kastene har vært kron. Det viser seg at selv elever som vet at begge utfallene har en sannsynlighet på 1/2 kan ha en tendens til å tenke slik. (Jones m.fl., 2007:918-919). Dette er nok et eksempel som viser at elevers intuisjon ikke stemmer overens med det de kan om sannsynlighet.

Flere forskningsstudier har kommet frem til at et viktig aspekt ved sannsynlighetsundervisningen, er å konfrontere slike misoppfatninger ved å få elever til å reflektere (Jones mfl., 2007:933, 936, 938). Dette kan vise seg å være vanskeligere enn man først tror, siden det forutsetter at læreren har kunnskap om både vanlige misoppfatninger og sine egne elevers forståelse av sannsynlighet. Jones m.fl. (2007:938) påpeker at denne kunnskapen vil være nødvendig for lærere i utforming av undervisningsopplegg. Lærerens kunnskap om hvordan elevene tenker kan derfor direkte påvirke elevenes læringsutbytte (Franke, Kazemi & Battey 2007:229).

Kommunikasjon i klasserommet:

Mange lærere vil kanskje tro at de har god kunnskap om hvordan elevene tenker. Det viser seg likevel at de vanligste undervisningsmetodene lærere benytter seg av, følger et kommunikasjonsmønster som gir dem lite informasjon om elevene (Franke m.fl. 2007:229) (Haug 2010:8). Dette kommunikasjonsmønsteret er initiering, respons, evaluering mønsteret, ofte forkortet til IRE-mønsteret. I et slikt kommunikasjonsmønster så vil læreren initierer ved å stille et spørsmål, elevene responderer ved å svare, og læreren gir tilbakemelding og evaluerer svaret. Læreren vil derfor være den som snakker mest, ved å både initiere og evaluere. I klasserom som følger IRE-mønsteret så er det lett at lærerens spørsmål blir redusert til å kun spørre om det neste steget i prosedyren for å løse problemet på tavla. Slike kommunikasjonsmønstre vil sjelden gi elevene muligheter til å forklare hvordan de tenker og forstår matematikk. (Franke m.fl., 2007:230-231).

Det er ikke alltid like lett å vite hva elever tenker. (Bilde 1, u.å.)

Franke m.fl. (2007:230-231) oppfordrer derfor til å bryte med IRE-mønsteret, slik at elevene får mulighet til å delta i klasseromsdiskusjoner, både i store og små grupper. Dette krever at læreren ikke tar på seg ansvaret for å forklare, og vurdere hva som er rett og galt. I slike klasserom vil elevene i større grad ta ansvar ved å stille spørsmål og vurdere hverandres matematiske idéer. Læreren får en mer passiv rolle som handle om å stille spørsmål, kommentere, og utdype elevenes ideer. (Franke 2007:230-231).

Franke m.fl. (2007:229) påpeker at en av fordelene ved å bryte med IRE-mønsteret, er at det vil bidra til at elevene utvikler dypere forståelse. Dette er fordi elevene blir nødt til å beskrive strategiene de bruker og hvorfor de fungerer. På denne måten får læreren mulighet til å bygge videre på elevenes idéer og forklaringer. Schoenfeld & Floden (2014:17-18) mener at å bruke elevenes ideer på denne måten kan virke anerkjennende, noe som vil styrke elevenes syn på faget og bidra til å utvikle en positiv matematikkidentitet. Kilpatrick, Swafford & Findell (2001:131) har definert engasjement som en nødvendig komponent for å kunne utvikle en helhetlig matematisk kompetanse (Matematikksenteret u.å.). Man skal derfor ikke undervurdere hvilke ringvirkninger dette vil ha på elevene. Det kan tenkes at elever som opplever å bli anerkjent på denne måten, vil bli mer motivert til å lære og bidra i klasseromsdiskusjoner.

Å endre på kommunikasjonsmønsteret i klasserommet gir også lærere muligheten til formativ vurdering. Formativ vurdering har som mål å bruke vurdering for å styrke læring. Vurdering vil virke formativt dersom læreren bruker informasjon om elevenes tankegang og forståelse til å forbedre og tilpasse undervisningen (Black i Schoenfeld m.fl., 2014:21). Dette kan for eksempel gjøres ved å bruke klasseromsdiskusjoner som fokuserer på detaljene elevene har misforstått eller synes er vanskelig.

Undervisningsopplegg:

Hensikten med undervisningsopplegget mitt er å konfrontere elevenes misoppfatninger, ved at elevene skal ta standpunkt til påstander om sannsynlighet. Dette skal gi læreren mer informasjon om hvordan elevene tenker ved at elevene produserer og vurderer hverandres argumentasjon og tankegang. Jeg har tatt utgangspunkt i oppgaver fra et undervisningsopplegg som er utviklet i et samarbeidsprosjekt mellom universitetet i Nottingham og universitetet i Berkeley, California. Jeg valgte disse oppgavene fordi de er oppgaver som er designet opp mot elevenes misoppfatninger med intensjonen om at læreren skal kunne vurdere elevenes forståelse av sannsynlighet. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015).

Før undervisningen:

Før undervisningen så vil elevene få et «er du enig?» oppgaveark som de skal svare på hjemme. Dette går ut på at de skal ta stilling til tre påstander og gi en fullstendig forklaring på hvorfor de er enig eller uenig med påstanden. Den første oppgaven tar for seg misoppfatningen om at alle hendelser har lik sannsynlighet, mens de to neste tar for seg misoppfatningen knyttet til kausalitet. Intensjon med leksa er å gi læreren et innblikk i tankegangen til elevene før undervisningen. Dette vil hjelpe lærerens mulighet til å foreta en formativ vurdering. Elevenes svar kan få konsekvenser ved at læreren ser behovet for å justere litt på undervisningsopplegget. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015). Wiliam (2007:1071) poengterer at det er vanskelig å komme på gode spørsmål i undervisningssituasjonen, det kan derfor være viktig å bruke tid på å tenke igjennom gode spørsmål på forhånd. I følge Schoenfeld m.fl. (2014:10) så vil det være viktig at lærere finner en balanse mellom å gjøre problemer for lett eller for vanskelig. Elevene trenger problemer som er kognitivt utfordrende for å lære, men læring blir vanskelig dersom utfordringene er for store. Det blir derfor opp til læreren å hjelpe elevene uten å ta bort det som er kognitivt utfordrerne ved en oppgave. Det kan tenkes at den formative vurderingen læreren gjør før undervisningen kan hjelpe med å finne denne balansen før undervisning starter.

Hjemmeoppgaver. (The Mathematics Assessmen Resource Service, 2015)

Diskusjon i par (20 min):

I første del av undervisningen så skal elever løse en oppgave i par. Denne oppgaven går ut på å sortere sannsynlighetspåstander inn i gruppene sant og usant. Bilde 2 viser to av påstandene som diskuteres. Fotballoppgaven tar også for seg misoppfatningen om at alle hendelser har lik sannsynlighet for å skje. Myntoppgaven tar for seg en misoppfatning om utfallsrom, denne oppgaven kan være vanskelig fordi elever ofte ikke tar utfallsrommet med i betraktningen, den kan også være vanskelig fordi elevene har problemer med å systematisk liste opp alle mulige utfall (Jones m.fl. 2007:921.) Hvis det er interesse for å få et helhetlig bilde av oppgavesettet så er det bare å følge denne linken. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015).

Sannsynlighetspåstander. (The Mathematics Assessmen Resource Service, 2015)

Elevene skal samarbeide om å løse oppgaven. Læreren bør derfor påpeker at det handler om å bli enig om en avgjørelse, og at man må prøve å overbevise partneren ved å forklare hvordan man har tenkt. Lærerens hovedoppgave i denne delen av undervisningen handler om å få et innblikk i hvordan elevene tenker, og hvordan argumenter de bruker for å overbevise hverandre. Dette er informasjon læreren kan ta i bruk i plenumsdiskusjonen senere i undervisningen. Læreren kan selvfølgelig stille spørsmål for å få i gang diskusjon hvis samtalene går tregt, og kan også gi hint til par som sliter. I denne delen av undervisningen så er det ikke så farlig om elevene svarer rett eller galt, det viktigst er at alle får muligheten til å diskutere og vurdere hverandres matematiske argumenter. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015). Å dele elevene inn i par kan få positiv innvirkning på undervisningen ved at det kan være lettere å diskutere i små grupper. Dette gjø at alle får mulighet til å delta og arbeide med matematikken på sitt eget nivå. Schoenfeld m.fl. (2014:13) poengter at dette vil være essensielt for å kunne oppnå et produktivt matematikklasserom.

Diskusjon i grupper (10 min):

I andre del av undervisningen så går to par sammen for å sammenligne svarene. Hvis gruppene har svart ulikt på oppgaven så må de prøve å overbevise den andre gruppen ved å forklare hvordan de har tenkt. Det blir opp til elevene å avgjøre om de blir overbevist av argumentasjon til det andre paret. Det kan være et poeng at læreren presiser at der er viktig at alle i gruppen forstår forklaringene og argumentene, og at hver gruppe er ansvarlig for hverandre sin læring. Det at elevene får god tid til å diskutere og dele idéene sine kan føre til en bedre plenumsdiskusjon der man får presentert flere idéer som er lettere å forstå for elevene. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015).

 
Plenumsdiskusjon (15 min):

Den siste delen av undervisningen er en plenumsdiskusjon. Den skal ha fokus på få frem hva elevene har lært. Dette kan gjennomføres ved at læreren spør om det finnes en oppgave der elevene er sikker på at de har tenkt rett. Dette er en metode som kan gjøre det lettere for elevene å bidra i plenumsdiskusjonen, siden det kan være lettere å forklare noe man har forstått. Det blir opp til læreren å stille gode oppfølgingsspørsmål dersom elevforklaringen ikke er gode nok. Det vil derfor være viktig at læreren har brukt de to første delene av undervisningen til å danne seg et bilde av de ulike forklaringene som finnes i klasserommet. I mange tilfeller så vil det også være interessant å spørre de andre elevene om de er enig eller uenige med forklaringene som oppstår i plenumsdiskusjonen. Det vil også være relevant å spørre om det var noen elever som hadde samme svar, men en annen forklaring. Slike spørsmål kan bidra til at det åpner muligheter der flere bidrar i diskusjonen. 

Hvilke oppgaver, misoppfatninger og detaljer læreren vil rette fokus mot i vil være avhengig av erfaringene læreren har innhentet i løpet av undervisningen. Derfor finnes det ingen på hvilke temaer som bør blir diskutert. Det vil være opp til læreren å vurdere hva som i størst grad dekker elevenes behov for å forstå sannsynlighet bedre. Om det skulle vise seg å være god tid til overs etter så kan det være relevant at læreren deler ut «er du enig» som elevene arbeidet med hjemme. Læreren kan ha skrevet noen enkle tilbakemeldinger og oppfølgingsspørsmål på arket. Elevene kan bruke det de har lært til å vurdere om de vil gi nye forklaringer. (The Mathematics Assessment Resource Service, 2015).

Avsluttende tanker:

Dette undervisningsopplegget vil dekke deler av dette læreplanmålet etter 7. trinn: «vurdere og samtale om sjanser i dagligdagse sammenhenger, spill og eksperimenter og beregne sannsynlighet i enkle situasjoner (Utdanningsdirektoratet 2013:8)». Det kan likevel argumenteres for at dette opplegget også egner seg for ungdomstrinnet, i og med at det gir læreren en innsikt i elevenes forståelse av matematikk som flere ungdomsskoleelever også sannsynligvis sliter med.

Når jeg beskriver gjennomgangen av undervisningsopplegget så er der flere rammefaktorer jeg ikke har tatt hensyn til. Det er verdt å nevne at Franke m.fl. (2007:248-249) poengterer at de sosiale normene i klasserommet og lærerens relasjon til eleven vil ha stor betydning på hvor gode klasseromsdiskusjoner man får.

 
Kilder hentet fra fronter:

Franke, L.F., Kazemi, E., & Battey, D. (2007). Mathematics Teaching and Classroom Practice. I Lester Jr., F.K (Red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning (s. 225-256). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc.

Jones, G.A., Langrall, C.W., & Mooney, E.S. (2007). Reasearch in Probability: Responding to Classroom Realities. I Lester Jr., F.K (Red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning (s. 909-956). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc.

Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B., (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics, 4 The Strands of Mathematical Proficiency (s. 115-155). Washington DC: National Academy Press.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math Dimensions. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Wiliam, D. (2007). Keeping Learning on Track: Classroom Assessment and the Regulation of Learning. I Lester Jr., F.K (Red.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and learning (s. 1053-1098). Charlotte, NC: Information Age Publishing Inc.

Kilder hentet fra internett:

Bilde 1. (u.å). Hentet fra:

http://www.mindmeister.com/blog/wp-content/uploads/featured_guestpost_small-768x402.jpg

Haug, P. (2010). Gode arbeidsmåtar. I Bedre skole nr1, 2010, s. 8-13. Hentet fra:

https://www.utdanningsforbundet.no/upload/Tidsskrifter/Bedre%20Skole/BS_nr_1_10/BedreSkole-1-10-web_Peder_Haug.pdf (Lest 23.10.2016)

Haran, B., & Numberphile. (2014). Monty Hall Problem – Numberphile. Berkeley, CA: Mathematical Sciences Research Institute. Hentet fra: https://www.youtube.com/watch?v=4Lb-6rxZxx0

Matematikksenteret (u.å) Hva betyr det å være god i matematikk.
Hentet fra: http://www.matematikksenteret.no/content/4526/Hva-betyr-det-a-vare-god-i-matematikk (Lest 21.10.2016)

The Mathematics Assessment Resource Service (2015). Evaluating Statements About Probability. University of Nottingham & UC Berkeley. Hentet fra:

http://map.mathshell.org/download.php?fileid=1660 (Lest 21.10.2016)

Tierney, J. (1991, 21.07). Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? The New York Times. Hentet fra: http://www.nytimes.com/1991/07/21/us/behind-monty-hall-s-doors-puzzle-debate-and-answer.html?pagewanted=1 (Lest 21.10.2016)

Utdanningsdirektoratet. (2013). Læreplan i matematikk fellesfag. Hentet fra:

http://data.udir.no/kl06/MAT1-04.pdf?lang=nob (Lest 21.10.2016)