En bedre forståelse av volum

Kandidat 4

Matematikken i norske skoler har en tendens til å ofte bli veldig teoretisk, noe som er et resultat av at elevene skal gjennom mye teori på kort tid. Dette medfører at det ikke blir tid til store deler med utforskende undervisning. Mange elever får en dypere forståelse, og læreren kan kanskje klare å luke ut flere misoppfatninger, hvis elevene får arbeide mer utforskende. Læringsmønsteret til elevene, altså hvordan elevene lærer, kan også endre seg med mer utforskende undervisning.

Volum vil for flere elever være noe de kun har teoretisk tilnærming til, og dermed kan de ha problemer med å forestille seg figurene. Forståelsen for hva man egentlig må multiplisere for å komme frem til volumet er noe mange elever kan ha problemer med å forstå. Det finnes formler for å finne volum av terning, prisme, sylinder, pyramide, kjegle og kule, og det vanlige i mange klasserom er at elevene får en formel og kanskje en rask innføring i hvorfor den er slik. Deretter noen eksempler på hvordan de setter inn tall i formelen. Men hvor mange av elevene forstår egentlig hva de setter inn i formelen og hvorfor de må gjøre det?

Ifølge Kunnskapsløftet skal elevene etter 7. trinn kunne gjøre overslag og måle volum, velge riktig måleenhet for måling og regne mellom flere måleenheter, finne volum av tre-dimensjonale figurer og bruke opplysninger fra disse i konstruksjoner og regning (Kunnskapsløftet, u.å.). Dette er kompetansemål som vil være enkle å kunne si er gjennomført med kun bruk av læreboken. Det viktige spørsmålet er, hvor mye kunnskap sitter elevene igjen med? Eller sitter de igjen med akkurat det de trenger å vite for å få en god karakter på prøven som sannsynligvis kommer rett etter?

De senere årene har det blitt mer fokus på tekstoppgaver i matematikken, og de har fått en annen betydning fra tidligere. De har gått fra å være brukt som en ekstra utfordring til nå å bli mer vanlig å bruke generelt i undervisningen også (Verschaffel m.fl, 2007). Forskning viser også at elevene må få mulighet til å forske på egen hand uten at læreren kommer med forslag og gir elevene svaret med en gang (Verschaffel m.fl., 2007). Gjennom denne type arbeidsform og slike oppgaver, vil det være enklere for læreren å la elevene utforske selv og i samarbeid med medelever.

Ofte har elevene problemer med å forstå hvor de skal fordi matematikk er et stort fag, og underveis i utdanningen er elevene innom flere ulike tema i matematikken. Elevene har ofte ingen reell aning om hvor de skal i læringen, og da er det viktig at læreren forklarer og underviser på et nivå slik at elevene føler de har mulighet til å holde følge og klare å se hva som er målet (Wiliam, 2007). Delmål vil i denne situasjonen kunne være enkelt for å motivere elevene, men også progresjon i oppgavene som elevene får hvor de selv klart ser hva som er målet. Wiliam (2007) har skrevet om ”keeping learning on track” som fokuserer på at elevene skal få veiledning som de kan ta med seg videre og hvor de enkelt forstår hva som skal til for å utvikle seg. I et undervisningsopplegg som dette vil det være enkelt for læreren å veilede elevene til videre utvikling fordi elevene får arbeide med andre oppgaver de ikke er vant til. Læreren kan da se hvilke elever som kun har tilegnet seg kunnskap som fungerer på de vanlige oppgavene som de er vant til og hvilke elever som har fått en forståelse av hva som må til for å kunne løse oppgavene.

Elevers intellektuelle behov for å forstå hvorfor dette er noe som er relevant for dem, vil komme tydeligere frem når flere av oppgavene kan relateres til situasjoner i hverdagen. Harel (2013) påpeker viktigheten med elevers intellektuelle behov, og at det må legges til grunn for matematikklæring da det er med på å øke forståelsen til hver enkelt elev. På den måten ser elevene sammenhenger og flere forklaringer kan bli mer logisk enn når tema som dette kun blir gjennomgått teoretisk.

Figur 1

Figur 2

Deler av kompetansemålene fokuserer på å kunne velge riktig måleenhet og regne mellom flere måleenheter. Gjennom arbeid med denne type oppgaver, vil elevene få trening i akkurat dette. Med fokus på å finne de måleenhetene som passer best samt å vise forståelse for hvordan man utfører disse oppgavene, vil elevene enkelt kunne formidle det de kan. Figuren som vises på siden, er et enkelt og smart hjelpemiddel for elevene når de arbeider med denne type oppgaver. Samtidig er det viktig at de forstår hva som egentlig skjer når de bruker denne metoden. Hvorfor multiplisere med 1000? Hvorfor dividere med 1000? Skal elevene ha utnytte av dette, må en slik illustrasjon være nøye gjennomgått først.

Undervisningsopplegg

I dette undervisningsopplegget vil det være fokus på at elevene skal arbeide sammen i små grupper for å løse flere problemløsningsoppgaver. Det blir også satt fokus på at elevene må arbeide med sin forståelse av tekstoppgaver. Dette er oppgaver som gjør at de både må friske opp i det de allerede har lært samtidig som det kan komme utfordringer hvor de ikke har lært formlene. Her blir elevene utfordret til å tenke sammen og komme frem til svaret. Gjennom de fleste oppgavene vil elevene få en fysisk gjenstand som de skal finne volumet til.

Oppgave 1:

Figur 3

a) Hva er volumet til denne fyrstikkesken?

b) Hvor mange dm3 er dette?

c) Hvor mange mm3 er dette?

Når elevene får denne oppgaven først, er det med på å starte tankegangen deres slik at de får frisket opp deler av regningen de ikke har brukt på en stund. Det er også for å ikke starte med en for vanskelig oppgave.

Oppgave 2:

Figur 4

a) Hva er volumet til denne i cm3?

b) Gjør om svaret dere fikk i a) til dm3.

c) Hvor mange liter er det plass til i kartongen?

Målet med denne oppgaven er at elevene også får en forståelse av å revne mellom forskjellige enheter og se at 1dm3 er det samme som 1l.

Oppgave 3:

Vaktmester Trond skal fylle vann i bassenget og lurer på hvor mange liter vann det er plass til. Målene til bassenget er: Lengde 25m, bredden er 2/3 av lengden, dybde 1,5m. Hvor mange liter vann er det plass til?

En slik oppgave gjør at elevene må utføre flere forskjellige regneoperasjoner for å komme frem til svaret. For enkelte elever kan en slik oppgave bli utfordrende, men med diskusjoner med medelever vil mestringsfølelsen bli desto større når de kommer frem til rett svar.

Oppgave 4:

Figur 5

Finn formlene for volum av pyramide og kjegle ved hjelp av prismet og sylinderen.

I denne oppgaven får elevene utdelt disse fire konkretene. Her blir de utfordret til å tenke nye veier og samarbeide for å komme frem til formelen for volum av pyramiden og sylinderen. Når elevene får arbeide på en slik måte, blir undervisningen mer praktisk og de lærer gjennom prøving og feiling (Verschaffel m.fl, 2007).

Oppgave 5:

Lag to forskjellige prismer med volumet 160cm3

Denne oppgaven utfordrer elevene til å endre tankemønster. De er ofte vant til å få målene utdelt og selv regne ut volumet. I denne oppgaven skal elevene selv finne ut de forskjellige målene.

Figur 6: Kilpatrick m.fl 2001:117

Alt er sammenflettet

Kilpatrick (2001) har delt matematisk kompetanse inn i flere biter som i denne sammenhengen kan vise hvordan alt henger sammen gjennom arbeid med matematikk.

Conseptual understanding (forståelse) – Ha forståelse av matematiske idéer og konsept

Procedural fluency (beregning) – Kunne regne effektivt og nøyaktig

Strategic competence (anvendelse) – Kunne formulere, presentere og løse matematiske problemer

Adaptiv reasoning (resonnering) – Kunne trekke logiske slutninger mellom begreper og situasjoner

Productive disposition (engasjement) – Holdninger og syn på matematikk som fag

Matematikk består av flere delkompetanser som må flettes inn i hverandre for at man skal få en kompetanse som er solid. Gjennom arbeid i grupper sammen med medelever hvor oppgavene til tider kan være vanskeligere enn det elevene er vant med, må de ha en forståelse av hva volum er. Elevene må bruke sine kunnskaper om beregning for å komme frem til svarene på oppgavene og vite hvilke regneoperasjoner som må til for å få et nøyaktig svar. Flere av oppgavene er av den typen der elevene må bruke sin anvendelse av kompetanse for å kunne presentere og løse de matematiske problemene som oppgavene spør etter. For noen elever vil det forekomme flere matematiske problemer enn hos andre elever, dette ut fra hvor stor kompetanse elevene har fra før. Spesielt oppgave 4 og 5 viser elevenes egenskaper til resonnering, da elevene i oppgave 4 må gjennom flere forskjellige regneoperasjoner og i oppgave 5 hvor elevene må finne de forskjellige ukjente sidene. Målet med denne økten er at elevene skal få et økt engasjement til matematikk som fag og at synet på matematikk skal være godt.

Utfordringer

Et slikt undervisningsopplegg kommer ofte ikke uten utfordringer. I en klasse hvor alle er individuelle personer, og alle har forskjellig kunnskap og erfaring både med temaet og kanskje arbeidsmetoden, vil det alltid være ulike utfordringer å ta stilling til. Kulturen i skolene er forskjellige og noen plasser er det vanskeligere å endre på denne enn det vil være på andre skoler. Gjennomføring av kun et opplegg vil nok ikke være like utfordrende med tanke på kulturen som det kan være å endre undervisningen permanent.

Kilder:

Harel, G. (2013): Intellectual need. In Vital directions for mathematics education research. Springer New York

Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (2001): Adding up to: Help children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press

Verschaffel, L., Greer, B. & De Corte, E. (2007): Whole number concepts and operations. I  F. K. Lester (Ed.) Second handbook of reaserch on mathematics teaching and learning.

Wiliam, D. (2007): Keeping learning on track – Classroom assessment and the regulation of learning. I F. K. Lester (Ed.) Second handbook of reaserch on mathematics and learning. Charlotte, N.C.: Information Age

Nettsider:

Udir (u.å): Læreplan i matematikk fellesfag - Kompetansemål etter 7.årssteg. Hentet 12.10.16 fra http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-7.-arssteget

Illustrasjon:

Fig. 1 & 2:

I matematikkens verden (u.å.): Omgjøring av måleenheter. Hentet 12.10.16 fra http://imatematikkensverden.blogspot.no/2016/07/omgjring-av-maleenheter-mm3-cm3-dm3-m3.html

Fig. 3: 

VG (23.08.15): Fyrstikkeske-treet kuttet ned – anmeldes til politiet. Hentet 13.10.16 fra http://www.vg.no/nyheter/innenriks/reiseliv/fyrstikkeske-treet-kuttet-ned-anmeldes-til-politiet/a/23510712/

Fig. 4:

Alpro (u.å.): Alpro soyadrikk sjokolade. Hentet 13.10.16 fra https://www.alpro.com/no/produkter/drikke/soya-smakstilsatt/sjokolade#productrange

Fig. 5:

Mattevideo (u.å.): 1PY – volum og overflate. Hentet 12.10.16 fra  http://www.mattevideo.no/1py_7032

Fig. 6:

Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (2001): Adding up to: Help children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press