kandidat 3. Problemløsning

problemløsing som arbeidsmetode

Å undervise i matematikk

Matematikklærerens jobb består først og fremst av å gjennomføre undervisning som gir et godt læringsutbytte for elevene. Han skal ha innblikk i elevenes forutsetninger, og være i stand til å velge ut, modifisere, designe, re-designe, dele opp, implementere og evaluere undervisningsopplegg i de tema som læreplanen lister opp. Et undervisningsopplegg består ikke bare av en serie med oppgaver som elevene skal løse, derimot inkluderer det alle de spørsmålene, situasjonene og instruksjonene som forekommer i undervisning (Sullivan, Knott, Yang, 2015). Dermed forstår vi at matematikkundervisning er en sammensatt og kompleks affære, med mange faktorer som spiller inn.

Når vi lærerstudenter etter hvert skal ut i skolen å undervise, gjør vi det imidlertid med en ballast med i sekken. Det siste året på lærerskolen har et stort fokus på forskning, og vi bruker mye tid på å lese, bearbeide og forstå det som forskere verden over har sagt om hvordan elever lærer matematikk, og hva som er god undervisning.

I dette innlegget skal jeg, gjennom å vise til et konkret undervisningsopplegg, presentere noe av det forskning sier om undervisning og elevers læring.

    

TRU Math som rammeverk

I matematikkdidaktikkens verden er det etter hvert utgitt et stort antall publikasjoner, med ulike innfallsvinkler. Når man skal undervise i matematikk er det hensiktsmessig å velge seg et utgangspunkt, et teoretisk rammeverk som man kan arbeide innenfor. Et eksempel på et slikt teoretisk rammeverk er det amerikanske Teaching for Robust Understanding (TRU), underskrevet Alan Schoenfeld og hans kollegaer. TRU Maths funksjon er å vurdere hvorvidt læringsmiljøet er produktivt nok. I dette rammeverket deles klasseromsaktivitet inn i 5 dimensjoner, og forskerne som har utviklet dette påstår at de klasserommene som scorer høyt i disse 5 dimensjonene, produserer gode tenkere. 

Den første dimensjonen handler om hvorvidt elevene opplever matematikk som isolerte, usammenhengende elementer som bare skal memoreres, eller om de opplever matematikk som en koherent disiplin der de kan bygge opp et matematisk forståelsesnettverk.
Den andre dimensjonen handler om hvorvidt undervisningens nivå av utfordring for elevene er hensiktsmessig og produktiv, altså om det er «passelig» vanskelig.
Den tredje dimensjonen handler om at alle elevene skal ha tilgang på den matematikken som læreren underviser. Det vil si at undervisningen på tilpasses hver elev slik at alle har anledning å lære.
Den fjerde dimensjonen handler om elevenes mulighet til å snakke og diskutere matematikk, slik at de bygger opp en identitet og autoritet som brukere av matematikk.
Den siste dimensjonen handler om vurdering for læring, og hvorvidt læreren er i stand til å gi elevene tilbakemeldinger som hjelper dem videre (Schoenfeld et al, 2014).

Hva skal vi undervise?

I norsk skole må vi til enhver tid forholde oss til gjeldende læreplan. Læreplanen gir oss konkrete kompetansemål for hva elevene skal kunne etter endt grunnskole, men den har noen svakheter. Dersom en elev har oppnådd alle kompetansemålene, er det ikke dermed sagt at han er i stand til å benytte seg hensiktsmessig av matematikk i nye situasjoner, eller at han har forstått de store sammenhengene. Det er lærerne nødt å ta hensyn til når de bestemmer hvordan de skal jobbe med matematikk.

I arbeid med tall og algebra er ett av kompetansemålene etter 7. trinn å «finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga». Et annet er å «utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning (…)».  (Utdanningsdirektoratet, 2013). Disse kompetansemålene skiller seg litt ut fra de andre ettersom formuleringen indikerer at det er selve prosessen med å arbeide med et problem som er målet.

Lesh og Zarojevski (2007) sier at en oppgave eller en målrettet aktivitet blir et problem når «problemløseren» må finne på en mer produktiv måte å tenke om en gitt situasjon. Det å løse problemer i matematikk har vært forsket på i over 50 år, og mange store navn i matematikkdidaktikk har publisert arbeid om problemløsing. En av de største fordelene med en slik måte å arbeide på, er at elevene oppdager selv hvor de har hull i forståelsen sin, eller hvor de mangler kompetanse for å løse et gitt problem. Harel (2013) kaller dette for et «intellektuelt behov».

Undervisningsopplegget: Problemløsing

Når læreren skal bestemme seg for hvordan gangen i undervisninga skal være, handler det ikke om å finne opp kruttet på nytt. Det å være lærer er på ingen måte et solo-prosjekt; forskere, skoleutviklere og lærere jobber for samme mål, og benytter seg av hverandres kompetanser. Det å designe et undervisningsopplegg krever både pedagogisk, didaktisk og fagspesifikk kunnskap, og å implementere undervisningsopplegget krever blant annet kunnskap om elevforutsetninger og kjennskap til hvordan klassen er vant til å jobbe.

Jeg skal nå presentere et problemløsningsopplegg utviklet av forskerne bak TRU Math. Opplegget slik det er presentert på nettressursen til TRU er meget detaljert, både i forhold til hvordan elevene skal arbeide, men også i forhold til hva læreren skal si og spørre om, i samtale med klassen. Jeg presenterer en noe forenklet versjon. Opplegget er beregnet på elever i 6.klasse.

 

Å dele kostnader rettferdig: Reise til skolen

Før:

Før undervisninga arbeider elevene individuelt med denne oppgaven som har som formål å avsløre elevens forståelse av emnet.
Elevene trenger ca 20 minutter å jobbe med oppgaven. For at læreren skal få et korrekt inntrykk, er det viktig at eleven får løse oppgaven helt på egen hånd.

Læreren samler inn, ser på arbeidet og gjør seg noen tanker om hvilket nivå elevene er på og hvilke strategier de bruker for å løse oppgaven. Læreren burde ikke sette karakter på arbeidet nå. Forskning viser nemlig at det å sette en karakter på et slikt arbeid har uheldig effekt, fordi i stedet for å fokusere på hvordan de kan forbedre seg, blir elevene opptatt av å sammenlikne karakterer med hverandre. I stedet skriver læreren ned to spørsmål på hvert arbeide, for å gi en formativ vurdering og hjelpe eleven videre.

Underveis:

Læreren gir arkene tilbake med en påminnelse om hva oppgaven er, og elevene får bruke 10 minutter til å svare på spørsmålene fra læreren.

Så deles elevene i grupper på 3 elever. Hver gruppe får et stort ark og penner. Videre oppfordrer læreren elevene til å dele arbeidet sitt med gruppa si. Sammen skal de komme fram til en strategi dem kan bruke, som er bedre enn hver enkelt strategi. Denne skrives ned på arket, som en plakat.

Mens elevene er opptatt med dette, har læreren to oppgaver: den ene er å notere seg ulike tilnærminger til oppgaven, hvorvidt de arbeider systematisk, om de bruker algebra for å løse oppgaven, osv. Den andre oppgaven er å støtte elevene i problemløsinga. Da må læreren passe på så han ikke påvirker eleven mot en spesiell måte å løse oppgaven på, men i stedet stiller åpne spørsmål og får eleven til å forsvare svarene sine.

Etter:

Når dette arbeidet er ferdig har man en klassediskusjon. Var det flere måter å løse problemet på? Var det noen metoder som utmerket seg? Her kan læreren ta opp noen av strategiene han observerte under arbeidet, og elevene kan jobbe med dem i fellesskap. Gjennom å jobbe med andres strategier, utvides også elevenes verktøykasse for problemløsning.

Elevene får anledning til å se over arbeidet de gjorde først, og så får de utdelt et nytt ark med samme oppgaven på. Det nye arket skal de gjøre hjemme i lekse. Dette er for at elevene skal få «ta i bruk» det de nettopp har lært.

Forutsetninger for et godt gjennomført undervisningsopplegg

Det finnes en del fallgruver man må passe seg for når man gjennomfører undervisning. For eksempel rollefordelingen i klasserommet: Vi vet at elever lærer best når de får kommunisere matematikk, enten muntlig eller skriftlig. Likevel viser forskning at alt for mange klasserom er kjennetegnet av at det er læreren som er den aktive parten, og elevene er tilskuere. Læreren foreleser, og noen få elever svarer kort på spørsmål. (Chapin, O’Connor, Anderson, 2009). I undervisningsopplegget over er det en forutsetning at elevene får være aktive og utforskende, og at de får bruke språket sitt i arbeidet med problemet. Gjennom å snakke matematikk, vil læreren lettere oppdage misoppfatninger hos elevene, og elevene selv vil også oppdage hvor de har hull i forståelsen sin.

Det er også en forutsetning at miljøet i klassen føles trygt for elevene. Det å bruke klassesamtaler vil også indirekte virke læringsstøttende, fordi man da etablerer et klassemiljø der det er OK å si det man tenker. I arbeid der elever er bedt om å dele sine tanker og metoder med andre, må de kunne føle seg trygg på at de kan dele uten at andre gjør narr (ibid.)

Det er bred enighet om at problemløsing i matematikk krever mer av læreren, både matematisk, pedagogisk og personlig. Han er nødt, nærmest på sparket, å analysere elevenes tankegang, for så å hjelpe elevene videre uten å gi instrukser eller hint som tar bort utfordringene med oppgaven. Men som Schoenfeld (1992) påpeker, så får man så utrolig mye mer tilbake av en slik måte å jobbe med matematikk på. For at et slikt undervisningsopplegg skal fungere, må læreren være innstilt på dette. Læreren kan ikke bry seg om at det blir dårligere tid til øvingsoppgaver, eller føle seg fristet til å nærmest «gi bort» svaret på oppgavene for å komme seg videre. Problemløsning er poengløst hvis det ikke gir utfordringer for elever, og den viktigste utfordringa er nettopp å finne ut hvilken del av matematikken de trenger for å løse problemet.

Litteratur

Chapin, O’Connor, Anderson (2009). Classroom Discussions. Using math talk to help students learn.

Harel, G. (2013). Intellectual need. In Vital directions for mathematics education research (pp. 119-151). Springer New York.

Lesh, R., & Zawojewski, J. (2007). Problem solving and modeling. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 763-804.

Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 334-370.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math document suite. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University.

Sullivan, P., Knott, L., & Yang, Y. (2015). The Relationships Between Task Design, Anticipated Pedagogies, and Student Learning. In Task Design In Mathematics Education (pp. 83-114). Springer International Publishing.

Suurtamm, C, Thompson, D., Kim, R., Moreno, Sayac, Schukajlow, S., Silver, E., Ufer, S. & Vos, P. (2016). Assessment in Mathematics Education: Large-scale Assessment and Classroom Assessment. ICME-13 Topical Surveys. Springer.

Utdanningsdirektoratet, 2013: Læreplan i matematikk fellesfag. Hentet 18.10.16 fra http://www.udir.no/kl06/MAT1-04