Eksamen Lru-3351

Blogg av kandidatnummer 1

Intellectual need.

En del elever føler at matematikken de får undervist på skolen er meningsløs, eller basert på et tynt gitt grunnlag fra læreren, som at dette er noe de må lære seg fordi det blir viktig i forhold til jobb og noe de får bruk for om 10 år. Dette som grunnleggende motivasjon for å lære seg matematikk er ikke holdbart over tid. I følge Harel (2013) må motivasjonen for læring i matematikk ligge i selve matematikken. Hvis matematikken i seg selv er motiverende vil ikke elevene stille spørsmål om hvorfor de skal holde på med det. Dette gjør man ved å skape et intellctual need hos eleven, eller på norsk, et intellektuelt behov. Det handler om å stimulere den iboende nysgjerrigheten i mennesket. Mennesket har behov for å vite om noe er sikkert, om hvorfor det er slik, hva sammenheng mellom ting er og behov for å kunne kommunisere om ting (Harel 2013). Det bør være et mål å fremkalle og stimulere det intellektuelle behovet i matematikkundervisningen slik at matematikken blir motiverende i seg selv.

«Cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”..

Universitetene i Berkley og Nottingham har gått sammen om å lage et rammeverk for god undervisning i matematikk kalt «TRU-math» (Teaching for Robust Understanding of Mathematics). De har i dette rammeverket utarbeidet fem forskjellige dimensjoner i matematikkundervisningen som læreren bør ta hensyn til. Jeg har valgt å fokusere på to av disse i mitt undervisningsopplegg; «cognetive demand»  og “Agency, Authority and Identity”. Dette fordi disse to dimensjonene er med på å understreke poenger og premisser ved intellektuelt behov. Cognetive demand dimensjonen er ligner veldig på prinsippet med å skape intellektuelt behov. I likhet med teorien i intellektuelt behov vil man også her at elevene skal utfordres med arbeidet. Baktanken og et underliggende premiss er at læring skjer gjennom å løse en utfordring/problem (Harel 2013) (Schoenfeld, 2014). Teorien med intellektuelt (Harel 2013) og cognetive demand beskriver også at læreren skal være støttende og veiledende for eleven slik at eleven lager en egen mening for de matematiske ideene og begrepene. Et poeng her er at læreren må gå inn å forstå hvordan eleven forstår noe og dermed også få en indikator på hvordan eleven tenker omkring matematiske ideer og begreper. Dette fordi man lærer nye ting gjennom det man kan fra før (Harel 2013). Som nevnt lærer man ting gjennom å løse en utfordring. Dette gjør man gjennom de strukturene og måte å forstå på som er der gjennom hvordan vi ble og født og hva vi har erfart. Vi modellerer disse strukturene og er ute etter å tilegne oss de kunnskapene og ferdighetene vi trenger videre for å løse det problemet (Harel 2013). Dette fører oss inn på dimensjonen «Agency, Authority and Identity,» og som understreker det poenget med å ta tak i det elevene forstår og tenker. Denne dimensjonen handler om å la elvene komme frem til sine egne løsningsstrategier ved hjelp av diskusjon og argumentering enten med seg selv eller andre. «Agency, Authority and Identity,» dimensjonen samsvarer da godt med det å skape et intellektuelt behov hos elevene da man tar tak i elvenes måte å forstå og tenke på og derfra skape det intellektuelle behovet.  Videre er læreren sin jobb å samle og spisse elvenes måte å tenke på. Det kan sees på som en trakt der læreren starter langt ute med elevenes forskjellige måte å forstå og tenke på og derfra smale inn (ved hjelp av støtte og veiledning) mot den mest effektive og mest hensiktsmessige metoden å løse de forskjellige konkrete matematiske problemene på.

Problemløsningsbasert matematikk.

For å skape det intellektuelle behovet har jeg beskrevet at et viktig premiss er at elevene har et problem der det skapes et behov for å vite mer for å kunne løse problemet. Dette er et særdeles viktig poeng og er selve hovedgrunnlaget for min undervisning. Problemløsningsbasert matematikk vil være med på legge til grunn de premissene som er nevnt ovenfor for å skape et intellektuelt behov. Dette fordi gjennom problemløsningsbasert matematikk jobber man med utfordringer man ikke har en allerede klar algoritme eller metode for, men istedenfor må utforske, resonere og skape sikkerhet og en forklaring med det du gjør gjennom å løse det matematiske problemet (Artigue og Blomhøj 2013). Ved å arbeide på denne måten vil det kunne være med på å gi elevene en konseptuell forståelse i matematikken. Dette fordi de vil erverve seg kunnskaper om hvorfor matematiske ideer og begreper er som de er og hvordan de henger sammen. Det er ønskelig at elevene har en konseptuell forståelse, da det å ha en konseptuell forståelse av matematikken gjør at man får en mer fleksibel forståelse og kan anvende matematikken i flere sammenhenger og ikke bare er låst til algoritmer. Forskning viser også at arbeid med konseptuell forståelse gjør at eleven husker og kan mer av det de har lært (Artigue og Blomhøj 2013).

Undervisningsopplegget.

Ut i fra den overnevnte teorien vil jeg utforme et undervisningsopplegg i matematikk. Undervisningen vil være for en 8. klasse og økten vil vare i 90 minutter. Det er visse forutsetninger som må ligge til grunn for at dette tenkte undervisningsopplegget skal fungere optimalt. Den ene forutsetningen er at dette temaet er nytt for elvene, da et viktig premiss for problemløsningsbasert matematikk er at man ikke kjenner til fremgangsmåten fra før. Den andre forutsetningen er at det allerede er etablert en didaktisk kontrakt mellom lærer og elevene som tillater problemløsning som aktivitet. Den tredje forutsetningen er at læreren kjenner elevene godt, da det er viktig at elevene får utfordringer som er for lette og der det ikke oppstår behov for å erverve seg mer kunnskap (intellektuelt behov).

·         I undervisningen tar jeg utgangspunkt i følgende kompetansemål fra k06: «lage funksjonar som beskriv numeriske samanhengar og praktiske situasjonar, med og utan digitale verktøy, beskrive og tolke dei og omsetje mellom ulike representasjonar av funksjonar, som grafar, tabellar, formlar og tekstar” (Utdanningsdirektoratet).

Målet for økta er at elevene skal sitte igjen med en utvidet forståelse av likninger, hvordan de kan representeres på forskjellige måter og bruke det på en fleksibel måte i forskjellige sammenhenger.

Jeg starter timen å gi en oppgave. Oppgaven er som følgende: Per skal i fornøyelsespark og kjøre karusell. Det er to fornøyelsesparker han kan velge mellom. I park 1 koster det 100 kr å komme inn og 25 kr per runde med karusellen. I park 2 er det gratis å komme inn, men der koster det 50 kr per runde med karusellen.

1) Avgjør hvor mange turer med karusellen Per må ta i park 2 for at det skal lønne seg, fremfor å ta samme antall turer i park 1.

2) Avgjør hvor mange turer Per må ta med karusellen for at det skal koste like mye i begge parkene.

Årsaken til at jeg velger en oppgave fra den virkelige verden er for at eleven selv skal se behovet og meningen med et symbol for den ukjente kontra de alternative representasjonene 25x+100 og 50x. Jeg gir de en oppgave der de skal sammenligne fordi det vil føre til at de må vurdere gyldigheten opp mot hverandre og ikke bare kan komme med et svar, og fordi å sammenligne kan skape et intellektuelt behov for å se sammenheng mellom de matematiske ideene og begrepene som for eksempel konstantledd og dens betydning.

Jeg lar de først sitte alene å jobbe med oppgaven for deretter å sette dem sammen i grupper på tre og tre. Dette fordi de skal prøve å komme frem til sin egen fremgangsmåte å prøve selv og løse problemet ut fra deres måte å tenke på. De blir etter hvert plassert i grupper for at de skal presentere fremgangsmåten for hverandre fordi de skaper eierskap til metoden sin. Når de skal presentere den for de andre er det to viktige moment det skaper. Det ene er at de får dekket sitt intellektuelle behov for kommunisere om det problemet. Det andre er at når de blir presentert for en strategi som kanskje er litt ulik fra sin egen må de kanskje de modellere sin måte å tenke på og hva de har forstått ut i fra de andres måte å tenke på. Dette vil da kunne være med på å skape et behov for å vite om det man selv har tenkt er sikkert og om det henger sammen og på den måten skape motivasjon for å løse problemet.

Lærerens jobb vil være å gå rundt å støtte opp og veilede gruppene hvor de er. Et viktig moment her at elevene skal får tilstrekkelig med tid til å jobbe med oppgavene og at ikke læreren unødvendig fjerner en del av utfordringen.

Etter at elevene har jobbet slik vil læreren prøve å spise de forskjellige fremgangsmåtene i plenum. Til dette har Stein m.fl. (2008) laget en modell som er hensiktsmessig for dette formålet.

Hentet fra Stein m.fl. (2008:322)

 Med denne modellen har jeg som hensikt å ta utgangspunkt der elevene er og så skape en mening for dem rundt målet for timen. Stegene bygger på hverandre

Steg 1. Forutse elevenes løsningsmetoder

Jeg må forhånd ha en oversikt over så mange forskjellige løsningsmetoder som mulig og tankegangen bak disse. Dette for at jeg skal kunne bygge videre på elevens måte å forstå på slik at det vil gi mening for eleven.

Steg 2 Danne seg en oversikt over elevenes løsningsmetoder

Hvis jeg har gjort en god jobb i steg 1 vil jeg ha gode muligheter til sette meg inn i elevens måter å forstå og tenke på. Når jeg går rundt i klasserommet å støtter opp om elevene vil jeg da kunne opparbeide meg en oversikt som jeg igjen kan bruke i steg 3 der jeg tar tak i elevenes måte å forstå og tenke på. Her vil jeg antagelig på løsningsmetoder som bruk av tabell, grafer, aritmetiske algebra notasjoner og naturlig språk. Det vil også kunne være sammensatte metoder.

Steg 3 Plukke ut hensiktsmessige løsningsmetoder.

Her vil jeg plukke ut forskjellige løsningsmetoder og la gruppene jeg velger presentere dem. Jeg velger ut på bakgrunn av flesteparten av elevenes måte å tenke på, interessante matematiske ideer, og hva som kan være den mest effektive måten å løse det på. Her vil jeg få løsningsmetoder ut i fra steg 2. jeg ville hatt fokus på velge ut en metode med tabell, en aritmetisk algebraisk notasjonsform og grafisk løsning. Dette fordi jeg ønsker da å få frem sammenhengen mellom de forskjellige representasjonene som kan bety det samme.

Steg 4. Velge en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene.

Her vil jeg valgt å starte med tabellen, for så å gå videre to notasjon og deretter grafisk. I mellom løsningene med tabell og notasjon vil jeg minsket tallene på antall kr per tur for at det ville blitt mer utfordrende å føre det inn i en tabell. På den måten ville behovet for å innføre x vært større og dermed kunne det vært med på skape et intellektuelt behov. Dette fører oss inn på steg 5, nemlig å skape sammenheng mellom de forskjellige matematiske ideene. Gjennom å sammenligne disse løsningsmetodene og se på hva som er likt og forskjellig vil det skapes og dekkes den delen av det intellektuelle behovet for å se sammenheng mellom forskjellige matematiske ideer og begreper. Videre vil elevene kunne se nytten av alle de forskjellige representasjonene og hvorfor det er slik. Dette vil være med å gi elevene en dypere og mer fleksibel forståelse av de forskjellige representasjonene og betydningen av dem. Elevene vil også kunne se når de forskjellige representasjonene er mest hensiktsmessig å benytte seg av, som de igjen kan øve på å repetere i videre undervisning.

Prinsippet om tilpassa opplæring vil bli ivaretatt gjennom at de forskjellige matematiske representasjonene har ulik matematisk vanskelighetsgrad. De som er sterkest faglig vil kanskje løse denne med notasjoner, mens de svakere faglig vil kanskje kunne løse det ved hjelp av tabellen.

I et utvidet arbeid ville det vært hensiktsmessig å trekke inn andre relevante teorier som omhandler for eksempel matematisk kompetanse, kommunikasjon samt alternative rammeverk for matematikkundervisning. Valgte teorier vil også ha sine svakheter og begrensinger. For eksempel tar ikke dette undervisningsopplegget for seg vurdering, motivasjon eller valg av pensum.

Kildeliste:

Artigue, Miche`le. Blomhøj, Morten. (2013) Conceptualizing inquiry-based education in mathematics.

Harel, Guershon. (2013) Intellectual Need. University of Cakifornia San Diego.

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E.(2014): An introduction to the TRU Math Dimensions & the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://map.mathshell.org/materials/pd.php (Lest 14.10.2016)

Stein, M. K.; Engle R. A.; Smith, M. S. og Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell, Mathematical Thinking and Learning.

Utdanningsdirektoratet (2013) LÆREPLAN I MATEMATIKK FELLESFAG, Kompetansemål etter 10. årssteget. (http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-10.-arssteget) Lest 18.10.