Undervisning som skaper en dypere matematikkforståelse

KANDIDAT 7

Matematisk kompetanse?
Da jeg tok avsluttende eksamen i matematikk på videregående skole fikk jeg lov til å ha med meg læreboka på hoveddelen av eksamenen. Det var svært behagelig, for da slapp jeg å øve så voldsomt. Jeg husker bl.a. en oppgave jeg gjorde uten å forstå hva det var jeg faktisk gjorde – jeg fulgte en oppskrift slik jeg fant den i læreboka. Likevel følte jeg meg rimelig sikker på at jeg fikk rett svar, og det gjorde jeg nok, siden jeg sto til beste karakter.

Flere steder i forskningslitteraturen om matematikkundervisning og læring i matematikk finner vi igjen tanken om at det eksisterer to motpoler i det å lære seg og forstå matematikk. Om det nødvendigvis er snakk om motpoler er under diskusjon (Se f.eks. Kieran 2013), men det vil være mest behjelpelig for oss når vi nå skal forsøke å kaste et raskt blikk på deler av forskningen, at vi tar utgangspunkt i at denne forestillingen.

Relasjonell og instrumentell forståelse
Mest kjent er kanskje Richard Skemp (1976) for sin adskillelse av de to begrepene ”instrumental understanding” og ”relational understanding”. Skemp beskriver to slags matematiske forståelser som er av en ulik art. Den instrumentelle forståelsen handler enkelt forklart om en forståelse som er bygget på tillærte prosedyrer for å løse matematiske oppgaver. Et eksempel kan være at man kan finne ut at 4/6 = 6/9, fordi man har lært å finne fellesnevner ved å multiplisere med samme tall over og under brøkstreken à 36/54. En elev med relasjonell forståelse ville derimot kunne sett at 4/6 = 6/9 for eksempel gjennom å tenke proporsjonalt: 2/3 – 4/6 – 6/9. En relasjonell forståelse er en forståelse av de grunnleggende matematiske idéene og konseptene. (Skemp 1978)

Kreativitet vs. imitativitet

Lithner (2007) skiller mellom to andre noe mer konkrete begreper som kan passe sammen med tankegangen som vi finner i skjelningen mellom relasjonell og instrumentell forståelse. Han snakker om at man i matematikken på den ene siden kan resonnere kreativt, og på den andre siden imitativt. Sagt på en annen måte: Enten kan man finne løsninger på matematiske problem gjennom selvstendig tenkning, eller man kan komme frem til løsninger basert på å imitere tilsvarende resonnement eller algoritmer fra tidligere oppgaver. Her skal vi imidlertid merke oss at imitativitet ikke nødvendigvis gir grunnlag for å avskrive en relasjonell forståelse. Men vi møter en tilsvarende underliggende tone om at det eksisterer to ulike måter å drive med matematikk på.

Rote learning og inquiry based learning

Et annet viktig begrep som Lithner også knytter tett til sine forklaringer om imitativ tenkning (Lithner 2007), er rote learning. Til norsk kan vi oversette det med utenatlæring, pugging, eller kanskje mer presist: memorering gjennom repetisjon. Vi merker at dette også er lett å knytte til den såkalte instrumentelle forståelsen. Som en kontrast til begrepet rote learning finnes det en økende interesse for det som kalles for inquiry based learning (Artigue og Blomhøj 2013), som vi kan oversette med utforskende matematikk. Hovedessensen i dette er at elevenes læring tar utgangspunkt i en vitenskapelig arbeidsform, der elevene gjennom utforsking kommer frem til løsninger på matematiske problem, løsrevet fra tradisjonelle instruksjoner og drilling (Artigue og Blomhøj 2013:798).

Problemløsning er naturlig nok en viktig arbeidsmåte i inquiry based learning. Schoenfeld (1992) peker imidlertid på at ordet problemløsning gjerne forstås på ulike måter. I denne sammenheng er det naturlig å snakke om det å løse problemer som fremstår som et reelt problem for den som skal løse det (Schoenfeld 1992:15), slik at det nettopp krever utforsking – og fremmer kreativ og strategisk tankegang.

Hvor skal vi hen?

Følgende modell kan beskrive de to ”motpolene” som jeg nå har forsøkt å beskrive ut fra matematikkdidaktisk forskningslitteratur:

Figur a: Syntese av matematikkdidaktiske begreper

Hvilken retning skal vi så bevege oss i? Dette er et viktig spørsmål, som i stor grad er et spørsmål om verdier. Jeg vil nøye meg med å henvise til en kort argumentasjon for at det vi her kan kalle den relasjonelle forståelsesfløyen er en ønskelig retning å bevege seg mot. Skemp sammenligner den instrumentelle forståelsen med veibeskrivelser. Om du kommer ut av posisjon (går deg vill) har du da lite å stille opp med. Om du derimot har en relasjonell forståelse, som kan sammenlignes med et mentalt kart over byen du er i, kan du finne frem til nye ruter uavhengig av din nåværende posisjon (Skemp 1976:9). Sammen med dette svarer den utforskende, problemløsende, relasjonelle ”retningen” bedre til å møte det moderne samfunnets krav om selvstendighet, utvikling av ny teknologi m.m. (Artigue og Blomhøj  2013:798).

Jeg har gjort dette noe svart-hvitt for å få frem viktige refleksjoner rundt hva vi ønsker at våre elever skal lære i matematikkundervisningen på skolen. Et problem i skolen er nemlig at lærere fort kan gå inn i et spor, og jobbe opp mot formelle prøver og tester med karaktergiving som ikke måler den matematikkforståelsen som kanskje er intensjonen å måle. Karakterfokuset kan være en faktor som bygger opp om arbeidsformen ”teaching to the test”, som kan gi resultater, men der forskning antyder at ferdighetene raskere forverres i etterkant av testingen (Wiliam 2007:1073, Lamon 2007:658). Her kan det være nødvendig med en holdningsendring over tid, en didaktisk forhandlingsprosess mellom lærer og elev (Stillman m.fl. 2009:248). Dette lar seg ikke gjøre over natta, ei heller gjennom et enkelt undervisningsopplegg.

Med alt dette som basis vil jeg nå presentere et eksempel på hvordan undervisningsopplegg kan legges opp med mål om å bygge det som her kalles for elevenes relasjonelle matematiske forståelse, slik at det de lærer ikke bare blir en tomme dypt, og en mil bredt (Jf. Schoenfeld m.fl. 2014:6).

UNDERVISNINGSOPPLEGG

Jeg vil presisere at det er arbeidsmetoden som her er i fokus, og denne kan således overføres til arbeid med andre kompetansemål. Undervisningsopplegget er lagt opp med fokus på matematisk diskusjon. Fransisco (2012) viser til hvordan diskusjoner kan være med på utvikle elever til å kommunisere og resonnere matematisk, samt reflektere over sine egne matematiske resonnement (Fransisco 2012:417). I første omgang ser jeg det som viktig å ta meg god tid til å tenke grundig gjennom hvilke spørsmål/problem som er hensiktsmessig å gi elevene, basert på det jeg vet om elevenes forhåndsforståelse og hvilke matematiske idéer og konsepter jeg ønsker å styrke elevenes forståelse av. Som William (2007) sier: ”(…) questions worth asking are not likely to be generated spontaneously in the middle of a lesson” (Wiliam 2007:1071). Gjennom dette ønsker jeg å best mulig legge til rette for å la elevene komme inn en helhetlig matematisk tankegang, samtidig som de kognitivt må strekke seg utover sin nåværende kompetanse. Videre skal vi se nærmere på at jeg også vil forberede meg på hvordan elevene vil tenke, og hvordan jeg kan gi passende innspill til elevene underveis (Jf. Wiliam 2007; Stein m. fl. 2008:321; Schoenfeld m.fl. 2014:23).

La oss som eksempel ta utgangspunkt i dette kompetansemålet for 7. klasse fra K06:

Eleven skal kunne “finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar” (Utdanningsdirektoratet 2013).

Opplegget kan brukes på alle trinn på mellomtrinnet, etter en vurdering av elevenes nivå. Jeg tror spesielt dette vil egne seg i en 6. eller 7. klasse, etter tidligere arbeid med enklere brøker, og oppøvde ferdigheter i multiplikasjon.

Jeg deler elevene i grupper på tre og tre, evt. 1-2 grupper med fire.

Undervisningsøkten vil ta utgangspunkt i gruppesamtaler og plenumssamtaler omkring noen påstander og spørsmål. Grunnen til at jeg bruker påstander er fordi det gjør arbeidet sentrert mot elevenes resonnement og løsningsmetoder ut fra matematiske idéer fremfor bare å skulle finne frem til et svar (Wiliam 2007:1067).

Eksempel på påstander/spørsmål:

1) Hvis 8 jenter deler 3 pizza, og 3 gutter deler 1 pizza, får guttene mest pizza.

2) 20/32 > 5/7

3) 17/37 > 3/7

4) Truls spiser 4/6 av en sjokoladeplate. Trine spiser 6/9 av en sjokoladeplate som er like stor. Begge spiser like mye. (Jf. Lamon 2007:658)

5) Truls har igjen 2/6 av sjokoladeplaten. Trine har 3/9 av sin. Truls gir 1/6 til Trine, og Trine gir 1/9 til Truls. Hvor mye har hver av dem?

Det er noen matematiske idéer jeg særlig ønsker å styrke, og behov jeg ønsker å skape hos elevene gjennom disse oppgavene. Jeg ønsker at elevene skal utvikle forståelsen av proporsjonalitet, i kombinasjon med å se behovet for å finne fellesnevner, evt. forenkle brøkuttrykk (Jf. Harel 2013), noe som også er tett knyttet til faktorisering. Jeg ønsker ikke, slik som læreplanen i verste fall kan legge opp til, å lære elevene å finne fellesnevner uten evnen til proporsjonal tenkning. Konseptet proporsjonalitet er svært viktig og elementært både i regning med brøk, men også i store deler av matematikken generelt (Lamon 2007:637). Som arbeidsmetode vil jeg bruke følgende modell utviklet av Stein m.fl. (2008):

Figur b: Hentet fra Stein m.fl. (2008:322)

Modellen tegner et bilde av en arbeidsprosess i flere trinn. Hvert trinn baserer seg på de foregående trinnene.

1)   Forutse elevenes løsningsmetoder

Før jeg lar elevene jobbe med disse oppgavene bør det være et minimumskrav at jeg har jobbet meg gjennom disse selv, og forsøkt å finne så mange løsningsmetoder som mulig, evt. støttet opp av forskningslitteratur om tilsvarende oppgaver (Stein m.fl. 2008:323). Rammen for denne bloggen rommer ikke at jeg kan gå inn på alle mulige løsningsforslag på oppgavene over. De fire første oppgavene er konstruert for å få frem sammenhenger mellom de matematiske idéene og begrepene proporsjonalitet, multiplikativ tenkning, fellesnevner og faktorisering. Den siste er særlig rettet mot behovet for å finne en fellesnevner (Jf. Harel 2013). I denne filmen, som oppgave 1 er inspirert av, vil du imidlertid kunne se noen mulige elevresonnement på den oppgaven:

For øvrig ser jeg for meg at det kan være lurt å bruke ca. 45 min med til de tre første oppgavene, og ta de to siste i en ny økt på ca. 45 min.

2)   Danne seg en oversikt over elevenes løsningsmetoder

I denne sekvensen vil jeg gå rundt imens elevene jobber med oppgavene i grupper (en oppgave om gangen). Her kan jeg plukke opp elevenes strategier og de matematiske idéene som ligger til grunn. Jeg lar elevene få tilstrekkelig tid (F.eks. ca. 10 min per oppgave) til å tenke og argumentere. Noen innspill vil jeg også kunne gi. For eksempel ville jeg anbefalt guttene 5:46 ut i filmen å tegne for å bedre kunne forklare det de tenker.

3)   Plukke ut hensiktsmessige løsningsmetoder

Her vil jeg gjøre et utvalg blant elevenes løsningsmetoder med hensikt å få frem flest og best mulige matematiske idéer, ikke basert på korrekthet, men tankegangen som ligger til grunn. At elevenes egne resonnement blir brukt styrker deres matematiske selvstendighet (Jf. Schoenfeld m.fl. 2014:20).

4)   Velge en hensiktsmessig rekkefølge for de ulike løsningsmetodene

Rekkefølgen på de elevene jeg slipper til kan være avgjørende. Jeg ville for eksempel valgt eleven som tok veien via 6 gutter : 2 pizza, før jeg slapp til eleven som mente at man kunne gange 1/3 med 3 over og under brøkstreken (på oppgave en), fordi den sistnevnte strategien kan bygges på den førstnevnte.

5)   Diskutere sammenhengen mellom de ulike løsningsmetodene, slik at de bærende matematiske idéene blir tydelige

Dette er poenget med punkt 4. Her vil jeg la elevene få muligheten til å vurdere de ulike strategiene som har blitt presentert. Hensikten er å lede elevene til å se sammenhenger og effektive metoder basert på matematiske idéer. For eksempel at de to løsningsforslagene under bygger på den samme idéen, nemlig proporsjonalitet:

(Stein m.fl. 2008) 

AVSLUTNINGSKOMMENTAR

At elevene skal jobbe med arbeidsmetoder som bidrar til en relasjonell forståelse, betyr ikke at elevene ikke trenger tid til å jobbe med tekniske ferdigheter og prosedyrer. Men går man veien utenom den kognitive prosessen som gjør at man kan forstå de matematiske idéene og konseptene, vil man mangle en nødvendig del av den matematiske kompetansen, slik f.eks. National Research Council (2001) illustrerer matematisk kompetanse som et tau tvunnet av fem tråder, der både konseptuell (≈ relasjonell) forståelse og prosedyrelle ferdigheter (≈ instrumentell forståelse) omfavner hverandre (National Research Council 2001, jf. Kieran 2013).

   

Figur c: Kilpatricks 5 tråder (National Research Council 2001:117)

Litteratur

Artigue, M. og Blomhøj, M. (2013) Conceptualizing inquiry-based education in mathematics, ZDM Mathematics Education (2013), 45:797-810, DOI: 10.1007/s11858-013-0506-6

Fransisco, J. M. (2012) Learning in collaborative settings: students building on each other´s ideas to promote their mathematical understanding, Educ Stud Math (2013), 82:417-438, DOI: 10.1007/s10649-012-9437-3

Harel, G. (2013) Intellectual need. I Leatham, K. R. (red.) Vital Directions for Mathematics Education Research, DOI: 10.10007/978-1-4614-6977-3_6, © Springer Science+Business Media New York 2013

Kieran, C. (2013) The False Dichotomy in Mathematics Education Between Conceptual Understanding and Procedural Skills:  An Example from Algebra. I K.R. Leatham (ed.), Vital Directions for Mathematics Education Research, 153 DOI: 10.1007/978-1-4614-6977-3_7, © Springer Science+Business Media New York 2013

Lamon, S. J. (2007) Rational numbers and proportional reasoning. Toward a Theoretical Framework for Research. I Lester Jr., F. K. (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 629-667) National council of teachers of mathematics

Lithner, J. (2007) A research framework for creative and imitative reasoning, Educ Stud Math (2008), 67:255–276, DOI: 10.1007/s10649-007-9104-2

National Research Council (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. J Kilpatrick, J. Swafford, and B. Findell (red.). Mathematics Learning Study Committee, Center for Education, Division of Behavioral and Social Sciences and Education. Washington, DC: National Academy Press.

Schoenfeld, A. H. (1992) Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics. I Grouws, D. (red.) Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 334-370) New York: MacMillan

Schoenfeld, A. H., Floden, R. E., og the Algebra Teaching Study and Mathematics Assessment Project. (2014). An introduction to the TRU Math Dimensions. Berkeley, CA & E. Lansing, MI: Graduate School of Education, University of California, Berkeley & College of Education, Michigan State University. Hentet fra: http://ats.berkeley.edu/tools.html and/or http://map.mathshell.org/materials/pd.php.

Stein, M. K.; Engle R. A.; Smith, M. S. og Hughes E. K. (2008) Orchestrating Productive Mathematical Discussions: Five Practises for Helping Teachers Move Beyond Show and Tell, Mathematical Thinking and Learning, 10:4, 313-340, DOI: 10.1080/10986060802229675

Stillman, G; Cheung, K-c.; Mason, R.; Sheffield, L.; Sriraman, B. og Ueno, K. (2009) Challenging Mathematics: Classroom practices. I Barbeau, E.J. og Taylor P.J. (red.), Challenging Mathematics In and Beyond 243 the Classroom, New ICMI Study Series 12, DOI 10.1007/978-0-387-09603-2_8, Ó Springer ScienceþBusiness Media, LLC 2009

Wiliam, D. (2007) Keeping learning on track. Classroom assessment and the Regulation of Learning. I Lester Jr., F. K. (red.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (s. 1053-1098) National council of teachers of mathematics

Utdanningsdirektoratet (2013) Læreplan i matematikk fellesfag. Kompetansemål etter 4. årssteget. URL: http://www.udir.no/kl06/MAT1-04/Hele/Kompetansemaal/kompetansemal-etter-4.-arssteget- [lest 22. oktober]